Derivarea functiilor compuse Categoria: Referat Matematica
Descriere: Daca |
|
||
|
|
|||
|
1 Derivarea functiilor compuse 1. Derivarea functiilor compuse: In acest paragraf vom arata ca prin compunerea unei functii derivabile se obtin tot functii derivabile. Teorema: Fie I si J integrale din R si functiile u:I→J si f:J→R. Daca u este derivabila in x0 J, iar f este derivabila in u0=u(x0) J , atunci functia compusa f u:J→R este derivabila in x0 si (f u)'(x0)= f '(u0)∙u'(x0) 1. ∙ =f'(u0)∙u'(x0) Consecinta: Deoarece x0 a fost ales arbitrar, rezulta ca daca u:I→J si f:J→R sunt derivabile , atunci f u este dericabila si (f u)'=f'(u)∙u' Derivata unei funcii compuse este produsul derivatelor celor doua functii in ordinea compunerii lor. Observatie: (g f u)'=g'(f u)∙f'(u)∙u' Demonstratie.Trebuie probat ca: Definim functia: F: J R astfel: F(y)= ,daca y y0 g’(y0), daca y=y0 Evident F este continua in y0 deoarece: F(y)= =g'(y0)=F(y0) Are loc egalitatea: =F(f(x)) ,daca x x0 (1) Intr-adevar, daca f(x)=f(x0) , atunci ambrii membri sunt nuli. Daca f(x) f(x0) , atunci f(x) y0 si F(f(x))= si se constata ca relatia (1) se verifica. Trecand la limita in (1) dupa x x0 avem: (g f)'(x0)= = F(f(x)) =g'(y0)f'(x0)=g'(f(x0))f'(x0), unde am utilizat relatiile F(f(x))=F(y0)=g'(y0) si faptul ca f este derivabila in x0. Teorema: Fie I , J intervale si I J R doua functii. Daca f este derivabila pe I si g este derivabila pe J , atunci g f este derivabila pe I si (g f)'=g'(f)∙f' Observatii: 1) Daca se considera trei functii derivabile f : I J , g : J K , h:K R , atunci functia h g f : I R este derivabila si (h g f)'=h'(g f)∙ ∙g'(f)∙f' rezultat ce se obtine imediat aplicand corolarul precedent [h (g f)]'=h'(g f)∙(g f)'=h'(g f)∙g'(f)∙f' 2) Deci: derivata unei functii compuse se obtine inmultind derivatele functiilor care se compun in ordinea compunerii lor. Exemple: Calculati functia derivata pentru fiecare dintre functiile urmatoare: 1. f:R→R , f(x)=sin3 x Daca u(x)=sin x , atunci f(u)=u3si f'(u)=3u2 f'(x)=f'(u)∙u'(x)=3u2∙u'(x)=3 sin2x∙(sin x)'=3 sin2x∙cos x 2. f:R→, f(x)=cos x2 Daca x2=u(x), atunci f(u)=cos u si f'(u)=-sin u f'(x)=f'(u)∙u'(x)=-sin u ∙u'(x)=-(sin x2)∙(x2)=-2x sin x2 3. f:(-∞;0) (2;∞)→R , f(x)=In(x2-2x) Daca u(x)=x2-2x , atunci f(u)=In u si f'(u)= f'(x)=f'(u)∙u'(x)= ∙u'(x)= ∙(x2-2x)'= = 2. Consecinte 1. [un(x)]'=n∙un-1∙u'(x) , oricare ar fi n N* 2. [ ]'= ∙u'(x) , oricare ar fi n N* 3. [In u(x)]'= ∙u'(x) 4. [sin u(x)]'=[cos u (x)]∙u'(x) 5. [cos u(x)'=-[sin u(x)]∙u'(x) 6. [tg u(x)]'= ∙u'(x)=[1+tg2u(x)]∙u'(x) 7. [ctg u(x)]'=- ∙u'(x)=[-1-ctg2u(x)]∙u'(x) • (xn)'=nxn-1 • ( )'= • ( )'= • (ax)'=ax ln a • (logax)'= • (ln x)'= • (sin x)'=cos x • (cos x)'=sin x • (tg x)'= • (ctg x)'= 1 3. Tabel cu derivatele functiilor elementare si ale functiilor compuse: NR. FUNCTIA DERIVATA DOMENIUL DE DERIVABILITATE FUNCTIA COMPUSA DERIVATA 1. constanta c 0 R - - 2. xn(n N*) nxn-1 R un(n N*) n∙un-1∙u' 3. xa(a R) axa-1 (0,∞) pentru a R/Q ua(a R) ∙ua-1∙u' 4. (0,∞) (u>0) 5. ax(a>0;a 1) ax ln a R au(a>0;a 1) au∙u'∙ln a 6. ex ex R eu eu∙u' 7. ln x (0,∞) ln u,u 0 u' 8. sin x cos x R sin u u'∙cos u 9. cos x -sin x R cos u -u'∙sin u 10. tg x cos x 0 tg u(cos u 0) 11. ctg x - sin x 0 ctg u(sin u 0) - 12. arcsin x (-1,1) arcsin u u (-1;1) 13. arccos x - (-1,1) arccos u u (-1;1) - 14. arctg x R arctg u 15. arcctg x - R arcctg u - 4. Exercitii rezolvate 1. [ln (5x+2)]'= = 2. [ln (x2+5x+4)]'= = 3. = 4. Fie g , h :R R , g(x)=x2+3x+2 , h(x)=x3 pentru care g'(x)=2x+3 si h'(x)=3x2. Sa consideram functia: f=h g : R R , f(x)=(h g)(x)=h(g(x))=(x2+3x+2)3. Atunci f'(x)=(h g)'(x)=h'(g(x))∙g'(x)=3g(x)∙(2x+3)=3(x2+3x+2)(2x+3) Observatie: in acest exercitiu am ales eu functiile g, h cu ajutorul lor am constituit functia compusa f=h g. De obicei in aplicatii se da functia f si ramane in seama cititorului evidentierea functiilor care se compun. Se impune o atentie deosebita la ordinea in care apar functiile in compunere. 5. Sa se calculeze derivatele functiilor compuse (punand de fiecere data in evidenta functiile care se compun): 1) f(x)=sin x2 , x R Functia f este compunerea functiilor g:R R , g(x)=x2, h:R R , h(x)=sin x. Atunci : f=h g , f(x)=h(g(x))=sin x2 Deci f'(x)=h'(g(x))∙g'(x)=(cos x2)∙2x=2x cos x2 Este clar ca h , g sunt derivabile si are loc teorema de la derivarea functiilor compuse.Deci prima functie din compunere este sin si apoi functia polinomiala g(x)=x2. Daca gandim functia f(x)=sin u(x) , unde u(x)=x2 , atunci f'(x)=(sin u(x))'=cos u(x)∙u'(x)=2x cos x2. 2) f(x)=sin2x , x R; In acest caz trebuie sa evidentiem doua functii: g:R R , g(x)=sin x si h:R R , h(x)=x2(functia putere) , pentru care g'(x)=cos x , h'(x)=2x. Deci: f(x)=(h g)(x) si f'(x)=h'(g(x))∙g'(x)=h'(sin x)∙(sin x)'=2sin x ∙cos x=sin2x Analog am putea considera f(x)=u2(x) , unde u(x)=sin x si deci f'(x)=2∙u(x)∙u'(x)=2sin x∙cos x =sin2x. 3) f(x)=sin3(x2+1) , x R In acest caz avem in compunerea functiilor g,h,i :R R , unde g(x)=x2+1 , h(x)=sin x , i(x)=x3 pentru care g'(x)=2x , h'(x)=cos x , i'(x)=3x2 cand f(x)=(i h g)(x)=i(h(g(x)))=i(h(x2+1))=i(sin(x2+1))=(sin(x2+1))3 , adica ordinea in compunere este functia putere , functia sin si apoi functia polinomiala. De aici f'(x)=i'(h(g(x)))∙h'(g(x))∙g'(x)=3h(g(x))2∙cos(g(x))∙2x= =3sin2(x2+1)∙cos(x2+1)∙2x 4) f(x)=sin2x , x R Aici se compune in ordine functia logaritmica h:(0, ) R , h(x)=ln x cu functia polinomiala g:(0, ) (1, ) , g(x)=x3+x2+1 cu h'(x)= si g'(x)=3x2+2x cand avem : f(x)=(h g)(x). Deci f'(x)=h'(g(x))∙g'(x)= ∙(3x2+2x)= Daca gandim functia f ca fiind f(x)=ln u(x) unde u(x)=g(x) , atunci f'(x)= = 5) f(x)=ln5x , x>0 Scriind f(x)=(ln x)5 se constata usor ca prima functie din compunere este functia putere h: R R , h(x)=x5 , iar a doua functie este g:(0, ) R g(x)=ln x pentru care h'(x)=5x4 , g'(x)= . Asadar f'(x)=[(ln x)5]'=5(ln x)4∙ = ln4x 6) f(x)=ln3(3x2+5x) , x>0 Se remarca usor ca in structura functiei sunt trei functii care se compun g:R R , g(x)=3x2+5x (functie polinomiala) , h:(0, ) R , h(x)=ln x ( functie logaritmica) si in fine i : R R , i(x)=x3 (functia putere). Deci f(x)=(i h g)(x). Avem g'(x)=6x+5 , h'(x)= , i'(x)=3x2 Acum este usor de vazut ca : f'(x)=i'(h(g(x)))∙h'(g(x))∙g'(x)=3ln2(3x2+5x)∙ ∙(6x+5) |
|||
| Referat oferit de www.ReferateOk.ro | |||
Varianta Printabila 
Free Download Referat PDF
Free Download Referat Word |
Home : Despre Noi : Contact : Parteneri |  |
