1







Derivarea  functiilor  compuse
















1.    Derivarea functiilor compuse:
    

          In acest paragraf vom arata ca prin compunerea unei functii derivabile se obtin tot functii derivabile.

Teorema: Fie I si J integrale din R si functiile u:I→J si f:J→R.
Daca u este derivabila in x0   J, iar f este derivabila in u0=u(x0) J , atunci functia compusa f  u:J→R este derivabila in x0 si (f   u)'(x0)=
f '(u0)∙u'(x0)

1.      ∙

     =f'(u0)∙u'(x0)

Consecinta: Deoarece x0 a fost ales arbitrar, rezulta ca daca u:I→J si f:J→R sunt derivabile , atunci f u este dericabila si (f u)'=f'(u)∙u'
Derivata unei funcii compuse este produsul derivatelor celor doua functii in ordinea compunerii lor.

Observatie: (g f u)'=g'(f u)∙f'(u)∙u'

Demonstratie.Trebuie probat ca:
 
Definim functia: F: J R astfel:
F(y)=        ,daca y y0
                 g’(y0), daca y=y0

Evident F este continua in y0 deoarece:
 F(y)=  =g'(y0)=F(y0)
Are loc egalitatea:  =F(f(x)) ,daca x x0 (1)
Intr-adevar, daca f(x)=f(x0) , atunci ambrii membri sunt nuli.




Daca
 f(x)  f(x0) , atunci f(x) y0 si F(f(x))=  si se constata ca relatia (1) se verifica.
Trecand la limita in (1) dupa x x0 avem:
(g f)'(x0)=  = F(f(x))       =g'(y0)f'(x0)=g'(f(x0))f'(x0), unde am utilizat relatiile  F(f(x))=F(y0)=g'(y0) si faptul ca f este derivabila in x0.

Teorema: Fie I , J intervale si I J R doua functii. Daca f este derivabila pe I si g este derivabila pe J , atunci g f este derivabila pe I si (g f)'=g'(f)∙f'

Observatii: 1) Daca se considera trei functii derivabile f : I J , g : J K , h:K R , atunci functia h g f : I  R este derivabila si (h g f)'=h'(g f)∙
∙g'(f)∙f' rezultat ce se obtine imediat aplicand corolarul precedent
[h (g f)]'=h'(g f)∙(g f)'=h'(g f)∙g'(f)∙f'

                   2) Deci: derivata unei functii compuse se obtine inmultind derivatele functiilor care se compun in ordinea compunerii lor.
   
Exemple: Calculati functia derivata pentru fiecare dintre functiile urmatoare:

1.    f:R→R , f(x)=sin3 x
Daca u(x)=sin x , atunci f(u)=u3si f'(u)=3u2
f'(x)=f'(u)∙u'(x)=3u2∙u'(x)=3 sin2x∙(sin x)'=3 sin2x∙cos x
 
2.    f:R→, f(x)=cos x2
Daca x2=u(x), atunci f(u)=cos u si f'(u)=-sin u
f'(x)=f'(u)∙u'(x)=-sin u ∙u'(x)=-(sin x2)∙(x2)=-2x sin x2

3.    f:(-∞;0)  (2;∞)→R , f(x)=In(x2-2x)
Daca u(x)=x2-2x , atunci f(u)=In u si f'(u)=
f'(x)=f'(u)∙u'(x)= ∙u'(x)= ∙(x2-2x)'= =


 

2.  Consecinte


1.    [un(x)]'=n∙un-1∙u'(x) , oricare ar fi n N*

2.    [ ]'=  ∙u'(x) , oricare ar fi n N*

3.    [In u(x)]'= ∙u'(x)

4.    [sin u(x)]'=[cos u (x)]∙u'(x)

5.    [cos u(x)'=-[sin u(x)]∙u'(x)

6.    [tg u(x)]'= ∙u'(x)=[1+tg2u(x)]∙u'(x)

7.    [ctg u(x)]'=- ∙u'(x)=[-1-ctg2u(x)]∙u'(x)

•    (xn)'=nxn-1
•    ( )'=
•    ( )'=

•    (ax)'=ax ln a

•    (logax)'=
•    (ln x)'=
•    (sin x)'=cos x

•    (cos x)'=sin x
•    (tg x)'=
•    (ctg x)'=


1 3.  Tabel cu derivatele functiilor elementare si ale functiilor compuse:



NR.    FUNCTIA    DERIVATA    DOMENIUL DE DERIVABILITATE    FUNCTIA COMPUSA    DERIVATA
1.    constanta c    0    R    -    -
2.    xn(n N*)
nxn-1    R    un(n N*)
n∙un-1∙u'
3.    xa(a R)
axa-1    (0,∞) pentru a R/Q
ua(a R)
 ∙ua-1∙u'

4.    
 
(0,∞)     (u>0)
 

5.    ax(a>0;a 1)
ax ln a    R    au(a>0;a 1)
au∙u'∙ln a
6.    ex    ex    R    eu    eu∙u'
7.    ln x    
(0,∞)    ln u,u 0
 u'

8.    sin x    cos x    R    sin u    u'∙cos u
9.    cos x    -sin x    R    cos u     -u'∙sin u
10.    tg x    
cos x   0
tg u(cos u 0)
 

11.    ctg x    -
sin x 0
ctg u(sin u 0)
-

12.    arcsin x    
(-1,1)    arcsin u
u (-1;1)
 

13.    arccos x    -
(-1,1)    arccos u
u (-1;1)
-

14.    arctg x    
R    arctg u     

15.    arcctg x    -
R    arcctg u     -






4.    Exercitii rezolvate

1.    [ln (5x+2)]'= =


2.    [ln (x2+5x+4)]'= =

3.     =  

 

4.    Fie g , h :R R , g(x)=x2+3x+2 , h(x)=x3 pentru care g'(x)=2x+3 si h'(x)=3x2.
Sa consideram functia:
f=h g : R R , f(x)=(h g)(x)=h(g(x))=(x2+3x+2)3.
Atunci f'(x)=(h g)'(x)=h'(g(x))∙g'(x)=3g(x)∙(2x+3)=3(x2+3x+2)(2x+3)

Observatie: in acest exercitiu am ales eu functiile g, h cu ajutorul lor am constituit functia compusa f=h  g. De obicei in aplicatii se da functia f si ramane in seama cititorului evidentierea functiilor care se compun. Se impune o atentie deosebita la ordinea in care apar functiile in compunere.

5.    Sa se calculeze derivatele functiilor compuse (punand de fiecere data  in evidenta functiile care se compun):

1)     f(x)=sin x2 , x  R
Functia f este compunerea functiilor g:R R , g(x)=x2, h:R R , h(x)=sin x. Atunci :
f=h g , f(x)=h(g(x))=sin x2
Deci f'(x)=h'(g(x))∙g'(x)=(cos x2)∙2x=2x cos x2
Este clar ca h , g sunt derivabile si are loc teorema de la derivarea functiilor compuse.Deci prima functie din compunere este sin si apoi functia polinomiala g(x)=x2. Daca gandim functia f(x)=sin u(x) , unde u(x)=x2 , atunci f'(x)=(sin u(x))'=cos u(x)∙u'(x)=2x cos x2.

2)    f(x)=sin2x , x R;


  In acest caz trebuie sa evidentiem doua functii: g:R  R , g(x)=sin x si h:R R , h(x)=x2(functia putere) , pentru care g'(x)=cos x , h'(x)=2x. Deci:
 f(x)=(h g)(x) si f'(x)=h'(g(x))∙g'(x)=h'(sin x)∙(sin x)'=2sin x ∙cos x=sin2x
Analog am putea considera f(x)=u2(x) , unde u(x)=sin x si deci f'(x)=2∙u(x)∙u'(x)=2sin x∙cos x =sin2x.




3)    f(x)=sin3(x2+1) , x R

  In acest caz avem in compunerea functiilor g,h,i :R R , unde g(x)=x2+1 , h(x)=sin x , i(x)=x3 pentru care g'(x)=2x , h'(x)=cos x , i'(x)=3x2 cand f(x)=(i h g)(x)=i(h(g(x)))=i(h(x2+1))=i(sin(x2+1))=(sin(x2+1))3 , adica ordinea in compunere este functia putere , functia sin si apoi functia polinomiala.
De aici f'(x)=i'(h(g(x)))∙h'(g(x))∙g'(x)=3h(g(x))2∙cos(g(x))∙2x=
=3sin2(x2+1)∙cos(x2+1)∙2x




4)    f(x)=sin2x , x R

  Aici se compune in ordine functia logaritmica h:(0, ) R , h(x)=ln x cu functia polinomiala g:(0, ) (1, ) , g(x)=x3+x2+1 cu h'(x)=  si g'(x)=3x2+2x cand avem : f(x)=(h g)(x). Deci f'(x)=h'(g(x))∙g'(x)= ∙(3x2+2x)=
Daca gandim functia f ca fiind f(x)=ln u(x) unde u(x)=g(x) , atunci f'(x)= =

 






5)    f(x)=ln5x , x>0


Scriind f(x)=(ln x)5 se constata usor ca prima functie din compunere este functia putere h: R R , h(x)=x5 , iar a doua functie este g:(0, ) R  
g(x)=ln x pentru care h'(x)=5x4 , g'(x)= .
Asadar f'(x)=[(ln x)5]'=5(ln x)4∙ = ln4x



6)    f(x)=ln3(3x2+5x) , x>0

Se remarca usor ca in structura functiei sunt trei functii care se compun g:R R , g(x)=3x2+5x (functie polinomiala) , h:(0, ) R , h(x)=ln x    
( functie logaritmica) si in fine i : R R , i(x)=x3 (functia putere).
Deci f(x)=(i h g)(x). Avem g'(x)=6x+5 , h'(x)=  , i'(x)=3x2
Acum este usor de vazut ca :
f'(x)=i'(h(g(x)))∙h'(g(x))∙g'(x)=3ln2(3x2+5x)∙ ∙(6x+5)