1

Miscarile planetelor si satelitilor

            Mişcările corpurilor din sistemul solar pot fi deduse din legile mişcării şi din legea atracţiei universale . După cum a arătat Kepler , toate planetele se mişcă pe orbite eliptice , Soarele fiind într-unul din focare .

            Putem afla o mulţime de lucruri despre mişcarea planetelor considerând cazul particular al orbitelor circulare .  Vom neglija forţele dintre planete , considerând numai interacţia dintre Soare şi o planetă dată .  Aceste consideraţii se aplică la fel de bine mişcării unui satelit ( natural sau artificial ) în jurul unei planete .

Două corpuri care se mişcă pe orbite circulare sub influenţa atracţiei universale reciproce .

F=Gm1m2/r2

 Ambele corpuri au aceeaşi viteză unghiulară ω .

Se consideră două corpuri sferice de mase M şi m mişcându-se pe orbite circulare sub influenţa atracţiei gravitaţionale reciproce . Centrul de masă al acestui sistem de două corpuri se află pe linia care le uneşte , într-un punct  C  astfel încât :    mr = MR .

            Dacă nu există forţe externe care să acţioneze asupra acestui sistem , centrul de masă nu are acceleraţie . În acest caz se alege  C ca origine a sistemului de referinţă . Corpul mare de masă  M se mişcă pe o orbită de rază constantă  R , iar corpul mic de masă m se mişcă pe o orbită de rază constantă  r , ambele corpuri având aceiaşi viteză unghiulară ω .

            Pentru ca aceasta să aibă loc , forţa gravitaţională care acţionează asupra fiecărui corp trebuie să asigure acceleraţia centripetă necesară .  Deoarece aceste forţe gravitaţionale reprezintă o pereche acţiune-reacţiune , forţele centripete trebuie să fie egale în modul şi opuse ca sens .  Adică : mω2r ( modulul forţei centripete exercitată de M asupra lui m ) trebuie să fie egal cu Mω2R ( modulul forţei centripete exercitată de m asupra lui M ) .  Faptul că este aşa rezultă imediat , deoarece  mr = MR , astfel încât  mω2r = Mω2R . 

            Condiţia specifică este atunci ca forţa gravitaţională exercitată asupra fiecărui corp să fie egală cu forţa centripetă necesară pentru a-l menţine în mişcare pe orbita sa circulară, adică :     

( GMm)/(r+R)2=mω2 r     (1)

Dacă un corp are o masă mult mai mare decât celălalt , ca în cazul Soarelui şi al unei planete , depărtarea sa faţa de centrul de masă este mult mai mică decât depărtarea celuilalt corp .  Se presupune că R este neglijabil în comparaţie cu r .

 Ecuaţia de mai sus devine : 

                                                                       GMs=ω2r3       (2)

 unde  Ms este masa Soarelui. 

            Dacă exprimăm viteza unghiulară prin perioada de revoluţie , ω = 2π/T , obţinem :

GMs = 4π2r3/T2       (3)

            Aceasta este o ecuaţie fundamentală pentru mişcarea planetelor ; ea este valabilă de asemenea pentru orbite eliptice dacă definim pe r ca fiind semiaxa mare a elipsei . O consecinţă imediată a ecuaţiei (3) este aceea că ea prezice legea a treia  a lui Kepler pentru mişcarea planetelor în cazul particular al orbitelor circulare . Acum putem exprima ecuaţia (3) astfel :

T2 = 4π2r3/GMs            (4)

            Observăm că masa planetei nu figurează în această expresie . Aici 4π2/GMs este o constantă , aceiaşi pentru toate planetele .

            Dacă perioada T şi raza r de revoluţie sunt cunoscute pentru o planetă , ecuaţia (3) poate fi folosită pentru a determina masa Soarelui . De exemplu , perioada Pământului este :     

                                                 T = 365zile = 3,15·107 s

 şi raza orbitei sale este :       

                                                r= 1,5·1011 m

            Prin urmare 

                             Ms = 4π2r3/GT2 ≈  2,0·1030 kg.

            Masa Soarelui este aproximativ 300000 ori mai mare decât masa Pământului . Se vede  că eroarea comisă prin neglijarea lui R faţă de r este neglijabilă ,  deoarece :

                                   R = mr/M = 1r/300000≈480 km  

                                   R·100%/r ≈1/3000 din 1%   .

            Într-un mod analog se poate determina masa Pământului din perioada şi raza orbitei Lunii în jurul Pământului .

            Dacă se cunoaşte masa Soarelui Ms şi perioada de revoluţie T a unei planete în jurul Soarelui , se poate determina raza orbitei r a planetei din ecuaţia (3) . Deoarece perioada se obţine uşor din observaţiile astronomice , această metodă de determinare a distanţei planetelor până la Soare este destul de bună .

            Ecuaţia (3) este valabilă pentru mişcările sateliţilor artificiali în jurul Pământului . Se substituie masa Pământului Mp în locul lui Ms în acea ecuaţie .         

Legea a doua a lui Kepler pentru mişcarea planetelor trebuie să fie valabilă pentru orbite circulare . Pentru astfel de orbite , atât ω cât şi r sunt constante , astfel încât sunt măturate arii egale în timpuri egale de către linia care uneşte o planetă cu Soarele .  Pentru orbitele eliptice exacte însă , sau pentru orice orbită în general , atât r cât şi ω vor varia .

            O cometă care se mişcă de-a lungul unei traiectorii eliptice cu Soarele C în focarul elipsei . În timpul dt cometa mătură un unghi dθ= ωdt . Considerăm o particulă care se roteşte în jurul lui C pe o traiectorie oarecare .  Aria măturată de raza vectoare într-un interval de timp foarte scurt este  Δt .  Această arie este egală cu jumătate din baza înmulţită cu înălţimea sau aproximativ ½ din (rωΔt)r .  Această expresie devine mai exactă la limită când Δt → 0 .  Viteza cu care aria este măturată instantaneu este ωr2/2  .

            Dar mωr2 este pur şi simplu momentul cinetic al particulei faţă de C .  Prin urmare , legea a doua a lui Kepler , care cere ca viteza de măturare a ariei ωr2/2 să fie constantă , este echivalentă cu afirmaţia că momentul cinetic al oricărei planete în jurul Soarelui rămâne constant .  Momentul cinetic al particulei în jurul lui C nu poate fi modificat de o forţă îndreptată către C . Legea a doua  a lui Kepler va fi valabilă pentru orice forţă centrală , adică pentru orice forţă îndreptată către Soare . Natura exactă a acestei forţe nu este evidenţiată în această lege .

            Legea întâi a lui Kepler este aceea care cere ca forţa gravitaţională să

depindă exact invers proporţional de pătratul distanţei dintre două corpuri , adică să depindă de 1/r2 . Se constată că numai o astfel de forţa poate duce la orbite planetare care să fie eliptice cu Soarele într-unul din focare .

Legile mişcării ale lui Newton şi legea atracţiei universale sunt într-o concordaţă aproape totală cu observaţiile astronomice . S-a considerat mişcarea unei planete în jurul Soarelui ca o problemă „ a două corpuri ” . S-a observat că mişcarea Soarelui poate fi neglijată cu un mare grad de precizie , deoarece raportul dintre masa Soarelui şi masa planetei este mare . Acest lucru a redus problema la mişcarea unui singur corp în jurul unui centru de forţă . Pentru o   tratare exactă trebuie să ţinem seama de efectul celorlalte planete şi sateliţi asupra mişcării Soarelui şi planetei .

Această problemă „ a mai multor corpuri ” este foarte dificilă , dar poate fi rezolvată prin metode de aproximaţie cu un mare grad de precizie . Rezultatele unor astfel de calcule sunt în concordanţă cu observaţiile astronomice .