1
Operaţii cu funcţii derivabile.  
Derivatele unor funcţii uzuale


Am întâlnit deja exemple de funcţii derivabile. Este utilă o sinteză a derivatelor funcţiilor uzuale şi se impune stabilirea unor reguli generale de derivare a sumelor, produselor, compunerilor etc. de funcţii derivabile.

II.1o Derivatele câtorva funcţii uzuale

a)    Orice funcţie constantă ƒ: R → R, ƒ(x)=c este derivabilă pe R, cu derivata nulă

                   (1).

b)    Funcţia putere ƒ: R → R, ƒ(x) = xn ( n real şi x > 0) este derivabilă pe R şi   ƒ’(x)=nxn-1.


        (2).

   
c)    Funcţia logaritmică ƒ: (0,  ) → R, ƒ (x) = ln x  este derivabilă pe domeniul de                                                                                      definiţie şi are derivata

 
     (3).

d)    Funcţiile trigonometrice ƒ, g: R → R, ƒ( x ) = sin x, g( x )=cos x sunt derivabile pe R şi pentru orice  x  avem

(sin x)’ = cos x
(cos x)’= -sin x
     
Demonstraţiile tuturor acestor derivate se fac uşor folosind definiţia derivatei.

Reguli de derivare

In continuare arătăm că pentru funcţii ca ƒ, g : E→R derivabile, E  R, funcţiile ƒ + g, ƒ-g,  fg etc. au aceeaşi proprietate.

Teorema 1

Presupunem că ƒ, g sunt derivabile în punctul x0 E şi  o constantă.
Atunci :
          (a) suma ƒ + g este derivabilă în x0  şi
                                           
          (b) λƒ este derivabilă în x0 şi
                                   
          (c) produsul ƒg  este o funcţie, derivabilă în x0 şi
                                   

Teroema 2

Presupunem că ƒ şi g sunt derivabile în x0 şi că  . Atunci funcţia – cât   este derivabilă în x0  şi, în plus :





Derivarea unei funcţii compuse şi a inversei unei funcţii

Trecem acum la  stabilirea altor două teorema generale de derivare, relativ la compunere şi inversare. Deosebit de importantă este formula de derivare a funcţiilor compuse. In acest sens, are loc:

Teorema 3

 Fie I, J  intervale şi   două funcţii. Dacă ƒ este derivabilă în punctul  x0 I, şi g este derivabilă în punctul y0=ƒ(x0), atunci funcţia compusă G= g ƒ este derivabilă în x0 şi G’(x0) = g’(y0)f’(x0). Dacă ƒ este derivabilă pe I, g este derivabilă pe J, atunci g f este derivabilă pe I şi are loc formula :

 

Teorema 4

Fie ƒ: I →J o funcţie continuă şi bijectivă între două intervale. Presupunem că ƒ este derivabilă într-un punct x0 I şi ƒ’(x0)  0, atunci inversa g=f-1 este derivabilă în punctul y0=f(x0) şi, în plus,
 

Derivatele funcţiilor uzuale şi a regulilor de derivare

Reguli de derivare
1.  
2.  
3.  
4.  

1 O funcţie ƒ: [a, b] R (a< b) se numeşte funcţie Rolle dacă este continuă pe intervalul compact [a, b] şi derivabilă pe intervalul deschis (a, b).
Teorema care urmează este o consecinţă a rezultatelor privind funcţiile şi a teoremei lui Fermat, foarte utilă în aplicaţii.

Teorema lui M. Rolle

Fie ƒ: [a, b] R a< b o funcţie Rolle astfel încât ƒ(a)= ƒ(b), atunci există cel puţin un punct c (a, b) astfel încât ƒ’(c)=0.
Demonstraţie. Funcţia ƒ fiind continuă (conform teoremei lui Weierstrass) este mărginită şi îşi atinge marginile în [a, b]. Fie m=   M=      .
Apar trei cazuri :
I.    M> ƒ(a). Există un punct c  [a, b] astfel încât M=ƒ(c) (M fiind atinsă) şi, evident, c  a, a b (dacă c= a sau b, atunci M= ƒ(c) ar fi egal cu ƒ(a)= ƒ(b), absurd); aşadar,   c  (a, b) şi cum c este maxim local, atunci conform teoremei lui Fermat ƒ’(c)=0.
II.    m< ƒ(a). Similar.
III.    m= M. Atunci funcţia ƒ este constantă pe [a, b], deci ƒ’(c)=0 pentru orice c  (a, b).
COROLAR. Intre două zerouri ale unei funcţii derivabile pe un interval se află cel puţin un zerou al derivatei.
Demonstraţie. Fie ƒ: IR derivabilă pe un interval I şi a, b I, a< b, zerouri ale lui ƒ. Atunci ƒ(a)=0=ƒ(b) şi putem aplica teorema lui Rolle pe intervalul [a, b].
Teorema lui Rolle admite o interpretare geometrică evidentă: dacă segmentul determinat de punctele (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)) este paralel cu axa Ox, atunci există cel puţin un punct între a şi b în care tangenta la graficul lui ƒ este paralelă cu axa Ox (fig. 6).
Observaţii. Toate condiţiile din enunţul teoremei lui Rolle sunt necesare, în sensul că dacă s-ar renunţa la vreuna din ele, atunci concluzia nu ar mai fi întotdeauna adevărată.
a)    Dacă ƒ ar fi continuă numai pe intervalul deschis (a, b), exemplul funcţiei
 arată că ƒ’ nu se anulează pe intervalul (0, 1) deşi ƒ(0)=ƒ(1). (fig. 7).
b)    Dacă ƒ(a)  ƒ(b), este suficient să considerăm funcţia ƒ(x)= x pe [0, 1] (fig 8).
            c)  Dacă ƒ nu ar fi derivabilă pe întreg intervalul (a, b), concluzia teoremei ar fi falsă, aşa cum arată exemplul funcţiei ƒ(x)=| x | pe intervalul [-1, 1].


Teorema lui Cauchy

Fie ƒ, g două funcţii Rolle pe intervalul compact [a, b], a< b, astfel încât g’(x)  0, x (a, b); atunci există un punct c  (a, b) astfel încât


 
Demonstraţie. Condiţia g’(x)  0 pentru orice x (a, b) implică faptul că          g(a)  g(b); într-adevăr, dacă g(a)=g(b), aplicând teorema lui Rolle , ar rezulta că există        c  (a, b) astfel ca g’(c)=0, ceea ce contravine ipotezei.
Considerăm funcţia ajutătoare F(x)=ƒ(x)+kg(x), k R şi determinăm k astfel ca F(a)=F(b), deci k= . Aplicând teorema lui Rolle funcţiei F cu k astfel determinat, există c  (a, b) astfel încât F’(c)=0. Dar F’(x)=F’(x)+kg’(x), x  (a, b), deci ƒ’(c)+kg’(c)=0, -k= , de unde se obţine relaţia ce trebuia demonstrată.
   Observaţie. Am fi putut mai întâi sa demonstrăm teorema lui Cauchy şi apoi, pentru g(x)=x, am fi demonstrat teorema lui Lagrange..
In cele ce urmează, vom indica o proprietate importantă a funcţiilor care admit primitive, deci care sunt derivate ale altor funcţii.

Teorema lui Darboux

Dacă ƒ: IR este o funcţie derivabilă pe un interval I, atunci derivata sa ƒ’ are proprietatea lui Darboux  (adică nu poate trece de la o valoare la alta fără a trece prin toate valorile intermediare).

Demonstraţie. Fie a<b două puncte din I astfel încât f’(a)=ƒ’(b). Pentru a fixa ideile, să presupunem că ƒ’(a)<ƒ’(b). Fie   (ƒ’(a), ƒ’(b)). Trebuie arătat că există un punct c  (a, b) astfel încăt ƒ’(c)=. Pentru aceasta vom considera funcţia auxiliară F(x)=ƒ(x)-x; evident, F’(a)=ƒ’(a)-<0 şi F’(b)=ƒ’(b)->0.
Funcţia F este derivabilă, deci continuă în intervalul [a, b] şi, ca atare, marginea inferioară m= F(x) este atinsă, într-un punct c  [a, b]. Vom arăta că de fapt m nu poate fi atins nici în a, nici în b. Aşadar, c  (a, b) şi din teorema lui Fermat se obţine F’(c)=0. Dar aceasta arată că f’(c)-=0, adică ƒ’(c)=, tocmai ce trebuia verificat.
Pentru a arăta că punctul c aparţine intervalului (a, b), vom proceda astfel: alegem >0 astfel încât |F’(a)|> şi F’(b)>. Din definiţia derivatei lui F în punctele a şi b, există >0 depinzând de  astfel încât din faptul că |x- a|> (respectiv  |x- b|> ) să rezulte că

Deoarece F’(a)+<0, raportul va fi strict negativ, pentru orice x> a, x-a<. Deci       F(x)-(a)<0, adică F(x)<F(a). In mod analog, din inegalitatea F’(b)->0, rezultă că F(x)<F(b) pentru x< b, x- b<. Aceste inegalităţi arată că marginea  inferioară a funcţiei F nu este atinsă nici în a, nici în b.





COROLAR. Fie ƒ: IR o funcţie derivabilă pe un interval I. Dacă derivata ƒ’ nu se anulează pe I, atunci ƒ’ are semn constant pe I.

Intr-adevăr, dacă ƒ’ nu ar avea semn constant pe I, atunci ƒ’ ar lua valori pozitive şi valori negative pe I, deci, conform teoremei lui Darboux, ar lua valoarea zero, ceea ce contravine ipotezei că ƒ’ nu se anulează pe I.