1 PROGRESII  ARITMETICE



1.DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICE

Un sir de numere (A1 ,A2 ,… ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant “ r ” ,numit ratie ,se numeste progresie aritmetica .

An+1 = An + r

2.NOTATIE : An -:

3.PROPRIETATI

P1: Intr-o progresie aritmetica termenul general An este egal cu                primul termen plus de atatea ori ratia cati termeni sunt inaintea sa.
 
                           An = A1 + (n-1) * r

P2: Intr-o progresie aritmetica suma termenilor egali departati de extreme este egala cu suma extremelor .
                           
              A1 + An  = A2 + An-1 = … = Ai + An-i+1




P3: Daca avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cel din mijloc este media aritmetica a celorlalti doi .

                            Ak = (Ak-1 + Ak+1) / 2

P4: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ultimul termen :

                             Sn = (A1 + An) *n / 2

P5: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ratia :

                             Sn = [ 2*A1 + (n-1)*r ]*n/2

4.APLICATII

1(pag71).Sa se scrie primii cinci termeni ai sirului ,cu termenul al n-lea dat  de formula :

An = 2(la puterea „-n “)
A0 = 2(la puterea  „0“) = 1
A1 = 2(la puterea „-1“) = 1/2
    A2 = 2(la puterea  „-2“) = 1/4
    A3 = 2(la puterea  „-3“) = 1/8
    A4 = 2(la puterea  „-4“) = 1/16
    A5 = 2(la puterea  „-5“) = 1/32

Xn = 5+4*n
X0 = 5         X3 = 17
X1 = 9         X4 = 21  
X2 = 13      X5 = 25

2(pag.72). Sa se gaseasca formula termenului al n-lea (n>=1) pentru fiecare din sirurile :

1, 3, 5, 7, 9, … ;  => An = A1 + (n-1)*r = 1 + (n-1)*2 = 2*n -1
2, 4, 6, 8, 10, … ;  => An = A1 + (n-1)*r = 2 + (n-1)*2 = 2*n
3, -3, 3, -3, … ;  => An = 3* (-1)(la puterea n)
1/3, 1/9, 1/27, 1/81, … ;  => An = 1/3(la puterea n)

3(pag.72). Sirul (Xn), n>=1, are termenul general dat de formula
Xn = 6- 4*n .Este termen al acestui sir numarul :

-102  (DA)
6- 4*n = -102  => 4*n = 108  => n = 27
-132  (NU)
6- 4*n = -132  => 4*n = 138  => n = 138/4 (nu apartine numerelor naturale)
100
6- 4*n = 100  => 4*n = -94  => n = -94/4 (nu apartine numerelor naturale)

7(pag.72). Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (An), daca :

A1 = 7 , r = 2
A2 = A1 + r = 9
A3 = 11
A4 = 13
A1 = -3 , r = 5
A2 = A1 + r = 2
A3 = 7
A4 = 12

16(pag.73). Sa se rezolve ecuatiile :

1 + 7 + 13 + … +X = 280
An = A1 + (n-1)*r
X = 1 + (n-1)*6
X = 6*n -5
Sn = (A1 + An)*n/2 = 280
(A1 + X)*n/2 = 280  => (1 + 6*n-5)*n/2 = 280
6*n(la puterea 2) -4*n -560 = 0
D = 3364
=> n1 = 10 ; n2 = -28 (nu convine)
=>X = 6*10 -5 = 55

(X + 1) + (X+ 4) + (X + 7) + … + (X + 28) = 155
An = A1 + (n-1)*r
X + 28 = X + 1 + (n-1)*3
27 = (n-1)*3  => n = 10
S10 = (A1 + A10)*10/2 = 155  => 2*X + 29 = 31  => X = 1

20(pag.73). Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (Bn) este data de formula Sn = n(la puterea 2) -2*n + 5. Sa se gasesca primii patru termeni ai acestui sir. Este acest sir o progresie aritmetica.

S1 = A1
S2 = A1 + A2
S3 = A1 + A2 + A3
…
Sn-1 = A1 + A2 + … + An-1
Sn = A1 + A2 + … + An-1 + An

A1 = S1 = 4
A2 = S2 - S1 = 1
A3 = S3 - S2 = 3
A4 = S4 - S3 = 5
2*A2 = A1 + A3  => 2 = 3 + 4 (F)
=>Sirul nu este o progresie aritmetica
1 PROGRESII GEOMETRICE

     
1.DEFINITIA PROGRESIEI GEOMETRICE

   Fie un sir (Bn) n>=1 , B1<>0
   Spunem ca termenii sirului (Bn) sunt in progresie geometrica daca fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din precedentul inmultit cu un numar constant q >0, numit ratie.

                                   Bn = Bn-1 *q

2.NOTATIE :  :-: (Bn) n>=1

3.PROPRIETATI

P1: Daca avem “ n ” termeni ai unei progresii geometrice atunci Bn este egal cu primul termen ori q la o putere  de cati termeni sunt inaintea lui.
                               
                             Bn = B1 *q(la puterea n-1)

P2: Daca B1, B2, … , Bn sunt  “ n “ termeni ai unei progresii geometrice atunci produsul termenilor egali departati de extreme este egal cu produsul extremelor.

                      B1*Bn = B2*Bn-1 = … = Bi*Bn-i+1




P3: Daca Bk-1, Bk, Bk+1 sunt trei termeni consecutivi pozitivi ai unei progresii geometrice atunci cel din mijloc este media geometrica al celorlalti doi.

                             Bk(la puterea 2) = Bk-1*Bk+1

R3: Daca 3 termeni consecutivi ai unui sir de numere pozitive verifica relatia cel di mijloc este media geometrica a celorlalti doi atunci siruleste o progresie geometrica.

P4: Suma primilor “ n “ termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este :
                               
                                  Sn = B1 * q(la puterea n)-1/q-1

4.APLICATII
 
26(pag.73). Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (Bn) daca :

B1 = 6 , q = 2
B2 = B1*q = 12
B3 = B2*q = 24
B4 = B3*q = 48
B5 = B4*q = 96
b) B2 = -10 , q = 1/2
     B1 = B2/q = -20
     B3 = B2*q = -5
     B4 = B3*q = -5/2
     B5 = B4*q = -5/4

27(pag.73). Sa se gaseasca primi doi termeni ai progresiei geometrice (Yn) , data astfel :


Y1, Y2, 24, 36, 54, … ;
36 = 24*q  =>  q = 36/24 = 3/2
24 = Y2*q  =>  24 = Y2*3/2  =>  Y2 = 24*2/3 = 16
    16 = Y1*q  =>  16 = Y1*3/2  =>  Y1 = 32/3

Y1, Y2, 225, -135, 81, … ;
-135 = 225*q  =>  q = -135/225 = -9/17   
225 = Y2*q  =>  225 = Y2*-9/17  =>  Y2 = -425
-425 = Y1*-9/17  =>  Y1 = 7225/9

28(pag.784). Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii geometrice (Bn) :

B3 = 6 , B5 = 24 , sa se gaseasca B7, B9, B10;
B3 = B1*q(la puterea 2)
B5 = B1*q(la puterea 4)
=> 6/24 = q(la puterea -2)  => q = 2
    B3 = B1*q(la puterea 2)  => B1 = 3/2
    =>  B7 = B1*q(la puterea 6) = 3/2*64 = 96
    =>  B9 = B1*q(la puterea 8) = 3/2*256 = 384
=>B10 = B1*q(la puterea 9) = 3/2*512 = 768
       
30(pag.74). Sa se scrie formula termenului al n-lea al progresiei geometrice date prin :

B1 = 2
Bn+1 = 3*Bn

Bn = B1*q(la puterea n-1) = 2*q(la puterea n-1)
Bn+1 = Bn*q  =>  3*Bn = Bn*q  =>  q = 3
•    Bn = 2/3*3(la puterea n)




Rezolvati ecuatia : 1+X+X²+…+X¹ºº = 0
Sn = 1*(1- X¹º¹)/(1- X)
X <>0 => X<>1
=> 1- X¹º¹ = 0  => X¹º¹ = 1  => X¹º¹ = cos0 +i*sin0
=> Xk = ¹º¹cos0 + i*sin0 = cos2k/101 + i*sin2k/101
k=0  => X=1 (nu convine)
k=1  => X=cos2/101 + i*sin2/101
…
k=100  => X=cos200/101 + i*sin200/101


Intr-o progresie geometrica avem S3= 40, S6= 60. Sa se gaseasca S9.

S3= B1*(q³-1)/(q-1)
S6= B1*(q -1)/(q-1)
=> S3/S6= (q³-1)/(q -1)= 2/3
=> 3*q³-3 = 2*q -2
    => 2*q +3*q³-1= 0
Notam: q³ = y
=> 2*y²-3*y+1= 0
     Δ= 1 => y1=2,  y2=1
=> q³=1  => q=1(nu convine)
=> q³=2  => q=³2
=> S3= B1*(q³-1)/(q-1)= 40  => B1=40(³2 -1)
=>S9= B1*(q -1)/(q-1) = 280


Sa se determine x astfel incat numerele a+x, b+x, c+x sa fie in progresie geometrica.
 

   (b+x)² = (a+x)*(c+x)
   b² + 2bx + x² = ac +ax +cx +x²
   b²-ac = x( a+c-2b)
   => x =(b²-ac)/(a+c-2b)

Gasiti primul termen si ratia intr-o progresie geometrica daca:
A4 + A1=7/16
A3- A2 + A1=7/8

A1*q³ + A1=7/16  => A1(q³ + 1)=7/16
A1*q² -A1*q +A1=7/8  => A1(q² -q +1)=7/8
=> (q³+1)/(q² -q +1)=1/2  => q+1=1/2  => q= -1/2
    => A1(-1/8 +1) =7/16  => A1= 1/2