1
CUPRINS


1.    Introducere…………………………………………………3

2.    Scurt istoric………………………………………………...4

3.    Breviar teoretic....…………………………………………..5

4.    Transformarea Laplace rapidă……………………………...7

5.    Aplicaţii ale transformatei Laplace…………………………9  

6.    Bibliografie………………………………………………...11


1. INTRODUCERE

            Lucrarea constă in efectuarea unui studiu asupra transformării Laplace rapide.
            Cele mai importante transformări integrale sunt transformările Laplace şi Fourier. Acestea sunt utilizate curent de în teoria circuitelor, în probleme liniare de mecanică, în rezolvarea unor ecuaţii integrale, dar şi în studiul sistemelor dinamice, studiul vibraţiilor şi al ecuaţiilor fizicii matematice.
            La o ecuaţie diferenţială, metoda Laplace este o metodă cunoscută, dar aceasta nu mai este universal aplicabilă – nu rezolvă orice ecuaţie. Similar, calculul inversei unei transformate Laplace nu se poate face efectiv cu metoda clasică de descompunere în funcţii simple.
            Lucrarea conţine un breviar teoretic  necesar creării algoritmului de calcul a valorilor unei funcţii original Laplace in diverse puncte discrete.
            Partea de importanţă majoră in cadrul proiectului constă în prezentarea unui algoritm prin care, fiind dată o funcţie olomorfă,  , recuperăm originalul Laplace , dar nu ca funcţie explicită, ci prin valorile funcţiei   intr-un şir discret de puncte. Vom arăta cum se pot calcula valorile lui   in diverse puncte discrete.
            În final se regăsesc câteva domenii importante de aplicabilitate a transformatei Laplace.


2. SCURT ISTORIC


            Pierre-Simon Laplace a fost unul dintre cei mai străluciţi astronomi din istorie în acest domeniu. Acest francez a prezis prin calcule matematice multe lucruri care mai târziu au putut fi observate cu telescoape puternice. Laplace s-a născut pe 23 martie, 1749, in Baeumont-en-Auge, un oraş din Normandia. Tatăl său a fost sărac, şi Pierre-Simon a primit educaţie puţin mai târziu. Vecinii mai bogaţi s-au interesat oarecum de el şi l-au trimis la universitate în Caen. Acolo s-a descurcat foarte bine în matematică.  La   vârsta  de   18  ani  a  mers
la  Paris  cu   o   scrisoare   in   care   explica
principiile  mecanicii  pentru  a  o  da  lui Jean d'Alembert, un matematician de seamă la acea vreme. D'Alembert a fost impresionat şi l-a ajutat pe tânărul Pierre să obţină un post de profesor de matematică la Şcoala Militară.
           LaPlace a câştigat multe premii pentru studiile sale şi a fost făcut marchiz, dar a rămas modest spunând:''Ceea ce ştim este puţin . Ceea ce ştim nu este imens''. A murit la Paris pe 5 martie, 1827.


3. BREVIAR TEORETIC

         Definiţia Transformatei Laplace

          O funcţie   se numeşte funcţie – original Laplace dacă ea satisface următoarele trei condiţii:
•      pentru orice  ;
•      este continuă pe porţiuni;
•    Există constantele reale   astfel încât  , pentru orice  .
           Prima condiţie este justificată de faptul că multe funcţii, semnale etc. care descriu procese, fenomene fizice sunt nule până la un moment  , de la care începe procesul sau fenomenul fizic respectiv; se poate lua  .
           A doua condiţie reprezintă o condiţie de regularitate şi revine la faptul că în orice interval mărginit  ,   funcţia   are cel mult un număr finit de discontinuităţi, unde în plus există derivate laterale.
           A treia condiţie asigură convergenţa anumitor integrale improprii care vor interveni in dezvoltările ulterioare. Ea se exprimă spunând că   este majorată de o exponenţială sau că   are creştere cel mult exponenţială. Marea majoritate a funcţiilor elementare, utilizate în calculul operaţional satisfac această condiţie. Numărul real   se numeşte indice de creştere al funcţiei  .
                  Transformate Laplace des utilizate
      

  Definiţia Transformatei Fourier
    
          Se ştie că o funcţie   cu valori complexe,   este integrabilă dacă   şi   sunt funcţii integrabile  .
          Orice funcţie   continuă pe porţiuni astfel încât   se numeşte funcţie – original pentru transformata Fourier. Se notează cu   mulţimea tuturor funcţiilor original.
          Pentru orice  , se numeşte transformata Fourier a funcţiei   (sau funcţie imagine).
           ,  , se mai notează  

           Formula lui Mellin-Fourier de inversare a transformării Laplace

           Fie  , cu indicele de creştere   şi cu proprietatea că are derivate laterale finite în orice punct  . Dacă  , atunci pentru orice   avem  .

           Relaţia între Transformata Laplace şi Transformata Fourier

           O relaţie similară cu cea anterioară, poate fi găsită şi în acest caz. Întradevăr, transformata Laplace este:
 
şi deci pentru   se obţine transformata Fourier. Avem binecunoscuta proprietate că transformata Fourier este transformata Laplace evaluată pe axa imaginară.




1 4. TRANSFORMATA LAPLACE RAPIDĂ

          Vom da un algoritm pentru a recupera o funcţie original Laplace din cunoaşterea imaginii sale  , folosind algoritmi FFT (Fast Fourier Transform).
          Fie   o funcţie continuă original Laplace, având indicele de creştere exponenţiala  (deci   pentru   şi există   astfel încât  , pentru orice  ).
Imaginea Laplace a lui  este funcţia complexă  , definită prin   care este olomorfă în semiplanul drept   şi în plus,  . Fixăm  . Punând  , rezultă   şi conform formulei de inversare Fourier, rezultă
                                        .                               (1)
            Presupunând cunoscută funcţia  , vom arăta cum se pot calcula valorile lui in diverse puncte discrete.
            Fixăm   şi notăm  . Pentru orice întreg  , notăm   şi rezultă conform (1),   deci,   sau  . Făcând schimbarea de variabilă din   în  ,  , v-a rezulta  .
             Aşadar, notând
                                                                              (2)
rezultă conform teoremei seriilor Fourier:
                                                                                                    (3)                             
                Deoarece  este o funcţie periodică de perioadă  , din formula (3) rezultă  .

              Fixăm   întreg şi punem  .Pentru frecvenţele   , rezultă
 
 
           Deoarece   pentru   şi   rezultă   , adică , unde TFD reprezintă Transformata Fourier Discretă.
           Aplicând   , rezultă:
                                                  (4)
Rezultă următorul algoritm pentru a inversa Transformarea Laplace cu ajutorul Transformatei Fourier discrete:
           Pasul 1: Este dată funcţia  . Fixăm   si .
           Pasul 2: Fie  . Se calculează valorile  , utilizând formula (2).
           Pasul 3: Folosind IFFT se calculează  , pentru  , cu ecuaţia (4).
           Pasul 4: Se calculează   pentru  .
 
5. APLICAŢII ALE TRANSFORMATEI LAPLACE

          Fie   
          In acest caz   şi avem  
          Alegem  ;
          Luăm  
          Aşadar ,  
          Se consideră şirul finit de lungime 64:
 
           Aplicând (4), se determină şirul de 64 de valori  ,  , de unde rezultă
           Acest exemplu este banal , dar algoritmul se poate aplica şi în cazul unde metodele clasice nu sunt posibile.


              Transformata Laplace este utilizată în diverse domenii precum în Electrotehnică la rezolvarea problemelor de circuit, în prelucrarea digitală a semnalelor, la rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale, la rezolvarea sistemelor liniare şi altele.

6.    BIBLIOGRAFIE


T. Stănăşilă: Matematici avansate, Fair Partners, 2005

R. Zaciu: Prelucrarea digitală a semnalelor, Editura Albastra, 2002

D. Stanemir: Semnale şi sisteme discrete, Atena Bucuresti, 1997

http://www.prodlogsys.ici.ro/ici/revista/ria2005_2/art05.html

http://www.sosmath.com/diffeq/laplace/application/application.html

http://people.deas.harvard.edu/~jones/es154/lectures/lecture_0/Laplace/laplace.html%20

http://www.eas.asu.edu/~vasilesk/EEE202/LaplaseTransform.pdf

http://www.du.edu/~jcalvert/math/laplace.htm

http://lorien.ncl.ac.uk/ming/dynamics/laplace.pdf

http://claymore.engineer.gvsu.edu/~jackh/books/model/chapters/laplace.pdf

http://www.math.okstate.edu/~binegar/2233-S99/2233-l29.pdf