1 Blaise Pascal


    Dintre contemporanii lui Descartes, nici unul nu a ar�tat un geniu natural mai bine decat Pascal. Reputatia lui in matematic� const� mai mult in ceea ce ar fi putut face decat in ceea ce a f�cut efectiv, deoarece o lung� perioad� din viat�  a considerat c� datoria lui este de a se con�centra asupra exercitiilor religioase.
    Blaise Pascal s-a n�scut pe 19 iunie 1623 in Clermont si a murit la Paris in 19 august 1662. Tat�l lui, un judec�tor din Clermont, avand la randul sau un anumit renume in stiint�, s-a mutat in Paris in 1631, pentru a-si continua propriile studii pe o parte, si pentru a-si educa unicul s�u fiu care dovedise deja abilit�ti exceptionale. Micul Blaise a fost tinut acas� pentru nu se obosi prea mult si din acelasi motiv educatia lui a fost mai intai restransa la inv�tarea limbilor str�ine, neincluzand evident matematica. Acest program a simulat curiozitatea baiatului si, intr-o zi, la doisprezece ani, a intrebat ce este geometria. Inv�t�torul lui i-a r�spuns c� este stiinta construirii figurilor exacte si a determin�rii proportiilor dintre diferite parti ale lor. In curand  Pascal se apuc� de studiat geometria, sacrificandu-si timpul de joac� si in ciuda restrictiilor care ii erau impuse, si  in cateva s�pt�mani descoper� singur multe propriet�ti ale figurilor. Cea mai important� este aceea privitoare la suma unghiurilor unui triunghi care este egal� cu dou� unghiuri drepte, res�pectiv 180 de grade. Se pare c� dovada consta simplu in imp�turarea unghiurilor peste figur� astfel incat varfurile lor s� se intalneasc� in centrul cercului inscris in triunghi. O demonstratie similar� se poate obtine prin imp�turarea unghiurilor astfel incat ele s� se intalneasc� pe piciorul perpendicularei duse din varful unghiului cel mai mare pe latura opus�. Impresionat de aceast� demonstratie inteligent�, tat�l s�u i-a dat o copie a c�rtii Elementele de Euclid, pe care Pascal o citeste cu interes pan�  cand o invat�.
La varsta de paisprezece ani este admis la intalnirile s�pt�manale tinute de Roberval, Mersenne, Mydorge si de alti matematicieni francezi. In final din aceste sedinte se naste Acade�mia Francez�. La varsta de saisprezece ani Pascal scrie un eseu despre conice, iar la optspre�zece ani construieste prima masin� aritmetic�, un calculator rudimentar, pe care o va imbunatatii peste opt ani. Scrisorile lui c�tre Fermat arat� c� aproximativ in aceast� perioad� se concentra asupra geometriei analitice si fizicii. A repetat si experimentele lui Toricelli.
In 1650 la mijlocul carierei lui stiintifice, Pascal si-a abandonat brusc idealurile lui in favoarea reli�giei, asa cum zice in Pens�es, "contempleaz� m�retia si misterul omului".
In 1653 a trebuit s� administreze mosia tat�lui s�u. Acum a adoptat iar�si vechile lui ocupatii si a f�cut cateva experimente asupra presiunii exercitate de lichide si gaze. In aceeasi perioad� a inventat triunghiul aritmetic, si impreun� cu Fermat a creat calculul probabilit�tilor.
Medita asupra c�s�toriei cand un accident l-a determinat iar�si s� se concentreze asupra religiei. S-a mutat la Port Royal unde a tr�it pan� in 1662.
Singura lucrare matematic� care o mai scrie o a fost un eseu despre cicloid� in 1685. Su�ferea de insomnie si de o durere de dinti cand i-a venit idea si spre surprinderea lui suferinta   i-a trecut. Privind aceasta ca un semn divin a continuat problema, lucrand f�r� oprire opt zile, si a terminat o lucrare relativ complet� despre geometria cicloidei.
Prima lucrare asupra geometriei conicilor, scris� in 1639, a fost publicata doar in 1779. Conica este o curb� plan� rezultat� din intersectia unui con circular cu un plan. Se pare c� a fost scris� sub indrumarea lui Desargues. Dou� rezultate sunt deopotriv� importante si interesante. Primul este o teorem� cunoscut� sub numele de Teorema lui Pascal :
Dac� un hexagon poate fi inscris intr-o conic� atunci punctele de intersectie ale laturilor opuse vor fi colinieare (pe aceiasi dreapt�). A doua care i se datoreaz� in mare parte lui Desargues spune urm�toarele:
Dac� un patrulater poate fi inscris intr-o conic� si ducem o dreapt� care intersecteaz� latu�rile in A, B ,C respectiv D, si conica in P si Q atunci:
                                                  PA•PCPB•PD = QA•QCQB•QD .
Pascal si-a imbun�t�tit triunghiul aritmetic in 1653, dar nu exist� nici o consemnare a me�todei lui pan� in 1665. Triunghiul este o figur� simpl� (ca cele dou� si se poate continua la infinit). Fiecare linie este format� din numere egale cu suma numerelor din stanga pozitiei de pe linia precedent�. De exemplu 20=1+3+6+10. Dac� asez�m triunghiul altfel (ca in dreapta) este mai usor s� vedem c� un num�r este egal cu suma celor dou� numere de deasupra lui, respectiv suma dintre num�rul din stanga si cel de deasupra in prima figur�. varful triunghiului fiind 1. Cele dou� reguli sunt echivalente.

Numerele unei linii se numesc numere figurate. Primele se numesc numere de ordinul intai, cele din a doua linie numere de ordinul doi, cele din a treia linie numere de ordinul trei s.a.m.d. Se poate usor demonstra c� a m-lea num�r de pe al n-lea rand este:                            
                                          (m+n-2)!(m-1)!•(n-1)! .
Triunghiul se obtine, in cazul primei figuri, trasand o diagonal� in jos din coltul dreapta sus. Num�rul pe fiecare diagonal� dau coeficientii binomiali al unei dezvolt�ri, sunt coeficientii binomi�ali ai binomului lui Newton. De exemplu a cincia diagonal� 1,  4,  6,  4,  1 sunt coeficientii binomi�ali ai dezvolt�rii (a+b)4 . Pascal  a folosit triunghiul pe de-o parte pentru diferite calcule proprii si pe de alt� parte pentru a calcula combin�ri de m luate cate n pentru cate a gasit formula corecta:
                                   (n+1)•(n+2)•(n+3)•...•m(m-n)! .

1 Probabil ca matematician Pascal este cel mai bine cunoscut pentru corespondenta lui cu Fermat din 1657 in care a stabilit principiile probabilit�tii. Totul a pornit de la o problem� propus� lui Pascal de un juc�tor numit Chavalier de M�r� (Cavalerul Marii). La randul s�u acesta i-a transmis-o lui Fermat. Problema era urm�toarea: Doi juc�tori de valori egale vreau s� plece de la mas� inainte de a termina o partida. Dac� se cunoaste scorul (in puncte) si numarul de punctelor pan� la care vroiau s� joace (adic� num�rul turelor dac� o tur� castigata inseamn� un punct)  se cere s� se afle in ce proportie trebuie s� impart� miza. Fermat si Pascal au dat acelasi r�spuns dar demonstrati diferite. Urm�toarea este demonstratia celui din urm�:
Aceasta este metoda mea de a determina partea fiec�rui juc�tor cand, de exemplu, doi ju�c�tori joaca pe trei ture si fiecare au pus 32 de galbeni.
S� zicem c� primul juc�tor a castigat dou� puncte, iar al doilea unul. Acum trebuie s� joace ultima tur� pentru un punct. Dac� primul juc�tor ar castiga ar lua toat� miza adic� 64 de galbeni, in timp ce dac� al doilea ar castiga fiecare ar avea dou� puncte si ar trebui impartita miza, adic� 32 de galbeni la fiecare. Asadar dac� primul juc�tor ar castiga 64 de galbeni i-ar apartine, dac� nu ar lua 32 de galbeni. Atunci dac� cei doi juc�tori doresc s� se opreasca aici primul ar zice: "Am asigurat un castig de 32 de galbeni chiar dac� pierd tura urm�toare, cat despre ceilalti 32 poate ii voi castiga eu poate tu, sansele sunt egale. Haide s� imp�rtim cei 32 de galbeni r�masi egal iar eu voi lua si pe cei 32 care imi sunt asigurati." Primul juc�tor va avea 48 de galbeni iar al doilea 16.
Mai departe s� zicem c� primul juc�tor a obtinut dou� puncte iar al doilea nici unul si sunt pe cale sa mai joace o tur� pentru un punct. Dac� primul juc�tor castiga acest punct va castiga si jocul si va lua 64 de galbeni, iar dac� al doilea castig� atunci juc�torii vor fi in situatia analizat� anterior. Dar, dac� nu mai doresc s� joace, primul juc�tor ar zice: "Dac� mai obtin un punct castig 64 de galbeni, dac� pierd tot primesc 48 (ca inainte). D�-mi 48 de galbeni pe care ii am sigur si restul de 16 ii imp�rtim in dou� egal cum sansele sunt egale." Asadar primul juc�tor ia 56 de galbeni iar al doilea 8.
Si in sfarsit primul juc�tor are un punct si al doilea nici unul. Dac� mai joac� pentru un punct si primul juc�tor ar castiga s-ar afla in situatia anterioar� in care el are dreptul la 56 de gal�beni, iar dac� al doilea ar castiga fiecare ar avea un punct si castigul ar fi imp�rtit. Dar dac� nu ar mai dori s� continue primul ar zice: "Da-mi 32 de galbeni pe care ii iau sigur, si imparte restul din 56 respectiv 24 (deoarece am deja 32)  in dou�." Atunci primul va avea 32+12=44 de galbeni si in consecint�, al doilea va avea  20 de galbeni.
Pascal continu� rezolvand probleme asem�n�toare cand jocul este castigat de cine obtine m+n puncte. R�spunsul este dat de triunghiul sau aritmetic. Solutia problemei generalizate in care valoarea juc�torilor este diferit� poate fi g�sit� in majoritatea c�rtilor de algebr� si este in concordant� cu raspunsul lui Pascal, desi notatiile pot fi diferite.
Pascal a folosit aceast� nou� teorie in al nou�lea capitol al c�rtii sale Pens�es. El spune urm�toarele: Dac� valoarea fericirii eterne este infinit� chiar dac� probabilitatea ca o viat� reli�gioas� s� asigure fericirea etern� este mic�, totusi speranta perspectiv�, m�surat� prin produsul celor dou�, trebuie s� fie destul de mare pentru a merita sa fi religios. Dac� se poate trage vreo concluzie  din afirmatia aceasta este neclaritatea obtinut� cand se aplic� formule matematice intrebarilor morale ale c�ror date nu sunt de obicei in sfera stiintelor exacte, de aceea afirmatia nu a fost apreciat� pozitiv.
Ultima lucrare matematic� a lui a fost Cicloida. in 1658. Cicloida este linia curb� trasat� de un punct de pe circumferinta unui cerc care se roteste f�r� alunecare pe o dreapt�. In 1630 Galileo a atras atentia asupra acestei forme de altfel gratioase, si sugerase ca arcele podurilor s� fie construite astfel. Patru ani mai tarziu Roberval a aflat aria determinat� de cicloid�. Descartes nu a apreciat aceast� solutie si l-a provocat la aflarea tangentelor, aceeasi provocare i-a fost tri�mis� lui Fermat care a rezolvat-o numaidecat. Cateva intreb�ri au fost puse de alti matematicieni. Acestea se refereau la curb� si la suprafata si volumul determinate de cicloid� la rotirea in jurul axei, bazei si tangentei. Acestea la un loc cu aflarea pozitiei centrului de greutate al corpurilor solide formate au fost rezolvate de Pascal in 1658. Rezultatele au fost emise ca intreb�ri spre rezolvare. Wallis reuseste s� r�spund� la toate cu exceptia celor legate de centrul de greutate. Solutiile lui Pascal (afectate de metoda indivizibilit�tii) seamana cu rezolvarea pe care ar da-o un matematician din zilele noastre cu ajutorul calculului cu integrale. El a obtinut (prin insumare) echivalentul integralelor lui sinф, sin2ф si ф∙sinф, o limit� fiind 0 sau �π. De asemenea a inves�tigat geometria spiralei lui Arhimede. Aceste studii, potrivit lui D'Alembert, formeaz� o leg�tur� intre geometria lui Arhimede si calcului infinitezimal a lui Newton.