Miscarea oscilatorie armonica

Caracteristica miscarii

Def :  Miscarea oscilatorie armonica este miscarea oscilatorie cu amplitudine liniara si constanta in care acceleratia este proportionala cu elongatia si de semn contrar ei.

Ecuatiile miscarii oscilatorie armonice

Consideram ca punctul material porneste din A.
             ­­­­­

w = Δα / Δt          => Δα = wΔt
α = wt
R = A
sin α = y / A     => y = A sin wt
Conditia de maxim :
y à ymax = A
sin (wt + φ0) = +-1    wt +φ0 = π/2    => wt = π/2 – φ0
t = (π/2 – φ0) / w
Generalizare :       t = [(2k+1)π/2 – φ­­0] / w

Ecuatia vitezei

                                                ­­v = ve cos α  
Masa circulara 
w = Δα / Δt    (relatie de definitie)        w = v / R    (modul)    => v = wR    
R = A         v = wA cos (wt + φ0)

Conditia de maxim

v --> vmax =wt       pt.cos   (wt + φ0) = 1      wt+φ0 = 2kπ    => t = (2kπ – φ0)w

Ecuatia acceleratiei

acp = w2R    sau     acp = w2A     => a = - w2A sin (wt + φ0)
Conditia maxima :
a à amax = - w2A    
pentru      sin(wt + φ) = 1
Asin (wt + φ0) = y
a = - w2y

Perioada miscarii oscilatorii armonice
Def :  Miscarea oscilatorie armonica este o miscare periodica care se repeta identic la intervale egale de timp.Ea este reprezentata printr-o functie periodica.

In continuare vom studia  :

Perioada pentru resort elastic

Fe = - Ky    ;   - Ky = ma ;

• Ky = - m w2 A sin w t
• K A sin wt = - m w2 A sin w t

K = w2m
w = √ K / m  ;   2π / t = √ K / m
w = 2π / T  ;

Legi :  • perioada depinde direct proportional de √ m
           • perioada depinde invers proportional de √ K
Observatie :  • perioada resortului nu depinde de marimi variabile si nu poate fi influentata.

Grupari resorturi :

• Serie

y = y1 + y2 ;
Constanta echivalenta :

1/Ks = 1/K1 + 1/K2

Ks =K1K2 / (K1 + K2)

Ts = 2π √ m/Ks

  b) Paralel

Kp =K1 + K2

Tp = 2π √m /Kp

Perioada pentru pendul matematic

Unghiul care corespunde elongatiei :
α = elongatie unghiulara                 α à y
α0 = amplitudine unghiulara            α0 àA
Gn = G cos α  ;  Gt = G sin α
Gn – la pozitia de extrem este anulata de tensiunea in fir.
Gt = mg sin α  ; ma=mg • y / l

• mw2y = - mg • y /l

w2 = g /l   ;  w =  √g / l  ;  T = 2π √ l / g

Energia in miscarea oscilatorie armonica

Et = Ec + Ep
Obs :  In miscarea oscilatorie armonica energia se conserva.
Et = Epmax   ( V = 0 )
Et = Ecmax    ( y = 0 )
Scop  Et = ?
Et = ½ mV2 + ½ Ky2     ;   y = A sin wt   ;  v = wA cos wt
Et = ½ mw2A sin2 wt + ½ KA2 sin2 wt  ;
Et = ½ KA2 (sin2 wt + cos2wt)
=> Et = ½ KA2

• Energia in miscarea oscilatorie armonica pentru resort elastic

Ec = ½ mv2      ;    Ep = Ky2     ;   Et = ½ KA2
Obs. Daca nu se cunoaste viteza si se da in ipoteza valoarea lui A respectiv y se aplica conservarea energiei.
Ec = Et – Ep   ;  Ec = ½ KA2 – ½ Ky2   ;
Ec = ½ K (A2 – y2)

• Energia in miscarea oscilatorie armonica pentru pendul matematic

Ec =1/2 mv2    ;    H = l • l  cos α    ; H = l  (1- cos α)   ;   Ep = mgh ;
Ep = mgl (1- cos α)