1 Teoria haosului


Teoria haosului are un început în încercările lui Henri Poincaré de modelare matematică a instabilităţii sistemelor mecanice, pe la începutul secolului. Ea s-a dezvoltat o dată cu perfecţionarea calculatoarelor şi creşterea consecutivă a puterii lor de calcul. Această teorie a furnizat mijloacele de studiu a sistemelor complexe. Prin aceasta şi-a găsit aplicaţii în multe domenii, din cele mai diverse, şi a revoluţionat cunoaşterea ştiinţifică.
Teoria haosului este studiul sistemelor complexe aflate in permanenta  miscare, bazate pe concepte matematice ale recursivitatii,  fie sub forma unui proces recursiv, fie un set de ecuatii diferite care modifica un sistem fizic.
Numele de “Teoria haosului” provine de la faptul ca sistemele pe care teoria le descrie sunt aparent dezordonate, dar teoria haosului cauta de fapt  ordinea interioara in aceste aparent  intamplatoare date.
Teoria haosului porneste de la ideea ca trebuie sa cautam în natura termeni contrarii, tensiunea generata de contradictii, de cumulare si relaxare, de invatare si uitare etc. Natura "lucreaza neliniar" si implicit haotic. De exemplu, o mica întârziere a autobuzului de dimineata poate sa strice întreg programul din aceeasi zi ( o adevarata catastrofa).
    Cea mai des intalnita conceptie gresita in legatura cu teoria haosului este aceea ca aceasta teorie se refera la dezordine.Nimic nu e mai departe de adevar ca aceasta afirmatie. “Haosul” din teoria haosului inseamna ordine in cel mai simplu sens al acestuia.
Astfel, teoria haosului nu pune accent pe dezordine(caracterul imprevizibil mostenit al unui sistem), ci pe ordinea mostenita a sistemului(caracterul universal al sistemelor similare).

Primul adevarat experimentator legat de aceasta teorie a fost meteorologul Edward Lorenz. In 1960, el lucra  la o problema de prezicere a vremii. Lorenz construise un calculator cu un set de 12 ecuatii dupa modelul vremii. Nu prezicea vremea, teoretic, acest computer prezicea cum ar putea sa fie vremea. Intr-o zi din anul 1961, el a vrut sa revada o anumita secventa. Pentru a salva timp, a pornit de la mijlocul secventei si nu de la inceput. A introdus numerele din documentele printate anterior si a asteptat rezultatele. Intorcandu-se dupa o ora, a observat ca secventa evoluase diferit. In loc sa urmeze acelasi algoritm ca mai devreme, a divagate de la acesta, sfarsind complet diferit fata de original. (fig. 1) Intr-un final, a realizat ce s-a intamplat. Computerul a stocat numerele pana la 6 zecimale in memorie. Pentru a economisi hartie, el le-a printat cu numai 3 zecimale. In secventa originala, numarul era .506127, iar el a intodus numai .506.
Conform tuturor ideilor conventionale de timp, rezultatul ar fi trebuit sa difere foarte putin de secventa originala. Lorenz a demonstrat ca aceasta idée este gresita. Acest effect a ajuns sa fie cunoscut ca si “The butterfly effect”. Diferenta initiala intre doua curbe este atat de mica incat se poate compara cu un fluture care da din aripi.
“The flapping of a single butterfly's wing today produces a tiny change in the state of the atmosphere. Over a period of time, what the atmosphere actually does diverges from what it would have done. So, in a month's time, a tornado that would have devastated the Indonesian coast doesn't happen. Or maybe one that wasn't going to happen, does.” (Ian Stewart, Does God Play Dice? The Mathematics of Chaos, pg. 141)
Acest fenomen, comun teoriei haosului, este de asemenea cunoscut ca o dependenta senzitiva de conditiile initiale. o mica schimbare in consitiile intiale poate schimba drastic comportamentului unui system pe termen lung. Pornind de la aceasta idée, Lorenz a afirmat ca este imposibil sa se prezica vremea cu exactitate. Totusi, descoperirea l-a condus pe Lorenz la alte aspecte care in cele din urma au ajuns sa fie cunoscute drept teoria haosului.
Lorenz a dorit ca creeze un sistem mai simplu decat cel cu 12 ecuatii care sa depinda la fel de mult de factorii initali. Astfel, a reusit sa creeze un system cu numai 3 ecuatii dependenr de factorii initiali. Mai tarziu, s-a descoperit ca aceste ecuatii descriau précisa a morii de apa. Cand a reprodus graphic rezultatele, Lorenz a observat ca acesta se incadra mereu intr-o spirala dubla. Astfel, ecuatiile lui Lorenz nu se intalneau in acelasi punct niciodata, dar pentru ca nici nu se repetau nu erau nici periodice .A numit aceasta imagine Atractorul Lorenz.(fig 2)
In 1963, Lorenz a publicat ceea ce a descoperit, dar pentru ca nu era nici matematician, nici fizician, descoperirile sale nu au fost luate in considerare decat dupa ce au fost redescoperite de altii.
Mandelbrot se intreba despre lungimea linie de tarm, asa ca s-a ghidat dupa o harta care cuprindea multe golfuri. Cu toate acestea, masurand lungimea coastei direct de pe harta, el a pierdut din vedere micile golfuri care erau considerate prea mici pentru a fi trecute pe harta. Oricat de mult ar fi marita harta, tot ar exista multe golfuri vizibile doar daca s-ar mari mai mult. Matematicianul Helge von Koch, a folosit aceasta idée pentru a crea curva Koch. Pornind de la un triunghi echilateral, la care a adaugat inca un triunghi echilateral pentru fiecare a treia parte a triunghiului initial(fig 4) Acesta curba aduce cu sine un paradox: de fiecare data cand sunt adaugate triunghiuri noi, lungimea liniei creste. Totusi, zona interioara a curbei ramane mai mica decat aria unui cerc desenat in jurul triunghiului original.
    
Exemple
aruncarea unei monede. Sunt doua variabile de care depinde: cat de repede loveste pamantul si cat de rapid se invarte. Teoretic, ar fi posibil sa se controleze aceste variabile pentru a controla moneda. Este posibil sa se puna variabilele intr-o anumita ordine, dar este imposibil sa fie controlate destul de bine astefel incat sa se cunoasca rezultatul final
o problema similara se intalneste in ecologie, in prezicerea populatiei. Ecuatia ar fi simpla daca populatia ar creste indefinit, dar efectul unui stoc limitat de mancare face aceasta ecuatie incorecta.

Aplicatii in viata de zi cu zi:

       Tehnicile teoriei haosului au fost folosite pentru crearea de sisteme biologice, care sunt unele din cele mai haotice sisteme imaginabile. Sisteme de ecuatii dinamice au fost folosite pentru aflarea a orice de la cresterea populatiei la bataile neregulate ale inimii.Inima omului urmeaza un model haotic. Timpul intre bataile inimii nu ramane constant, ci depinde de activitatea cardiaca, printre alte lucruri. Analiza batailor inimii, care pot incetini sau se pot intensifica, pot ajuta cercetatorii stiintifici sa gaseasca cai sa readuca un ritm anormal intr-o rata stabila.
         De fapt, aproape orice sistem haotic poate fi imitat cu usurinta — piata de specialitate ofera tehnologii usor de utilizat. Arta computerizata a devenit mult mai realistica folosind haosul si fractalii. Acum,cu o simpla formula, un computer poate crea un copac realist. Fractalii au rasarit peste tot, dar cel mai evident este in aplicatiile grafice cum ar fi renumitele serii de productie Fractal Design Painter. Industia efectelor speciale folosite in filme ar fi fost mult mai putin realistica fara tehnologia “fractal graphic”.
    De asemenea, teoria haosului ii face pe oameni sa devina mai interesati de matematica, pana de curad acest domeniu fiind unul din cele mai nepopulare.

Haosul a avut un effect de durata asupra stiintei, dar inca este mult de descoperit. Multi oameni de stiinta cred ca secolul al XX-lea va ramane cunoscut pentru 3 mari teorii: relativitatea, mecanica quantica si haosul.     
    Aspecte ale haosului se regasesc oriunde in lume, de la curentii oceanici la dumul sangelui prin vasele de sange, la crengile unui copac. Haosul a devenit o parte a stiintei moderne.
    Teoria haosului a schimbat  directia in stiinta: in ochii publicului, fizica nu mai e un simplu studiu asupra particulelor subatomice intr-un accelerator de particule care valoreaza bilioane, ci este un studio asupra sistemelor haotice si cum functioneaza acestea.
  Lorenzo

Fractal