1 LUCRUL   MECANIC


Noţiunea de lucru mecanic a apărut din necesitatea de a măsura munca (fizică) depusă de om, precum şi de maşinile construite de el pentru a-1 ajuta în această muncă.
Să considerăm situaţia simplă în care un buştean este deplasat pe un plan orizontal cu ajutorul unui cablu de către un om. Aceeaşi deplasare se poate realiza şi cu ajutorul unui cal sau al unui tractor. Generalizând până la abstractizare interacţiunea care se realizează prin intermediul cablului între buştean pe de o parte şi om, cal sau tractor pe de altă parte, s-a ajuns la noţiunea de forţă. Această noţiune ne permite să facem abstracţie de situaţia concretă considerată şi în loc să spunem că omul munceşte, vom spune că forţa   produce un lucru mecanic. Lucrul mecanic al forţei   este cu atât mai mare cu cât intensitatea forţei şi deplasarea corpului (asupra căruia acţionează forţa) sunt mai mari. Pentru generalizare, se poate face abstracţie şi de corpul considerat şi să spunem că o forţă produce lucru mecanic atunci când punctul său de aplicaţie se deplasează. Ştim că o forţă care acţionează asupra unui rigid are caracterul unui vector alunecător, adică efectul forţei nu se schimbă dacă punctul de aplicaţie se deplasează pe suportul ei. Trebuie să observăm că în cadrul noţiunii de lucru mecanic al unei forţe nu o astfel de deplasare este luată în considerare, ci deplasarea efectivă a punctului de pe corp în care se consideră aplicată forţa.
Denumirea de lucru mecanic a fost dată de inginerul francez Gustave Gaspard Coriolis. Conţinutul noţiunii s-a adâncit, o dată cu cea de căldură, în secolul al XlX-lea când s-a dovedit experimental că există un raport constant între cantitatea de lucru mecanic (care este legat de mişcarea mecanică) şi cantitatea de căldură (care este legată de o formă de mişcare nemecanică a materiei) în care acesta se poate transforma.
1. Definiţie
Se consideră un punct material M care se deplasează pe traiectoria curbilinie ( Γ ), fiind acţionat de forţa variabilă  . La momentul t punctul material se află în M  având faţă de un punct de referinţă fix 0 vectorul de poziţie r, iar la momentul    se află în , având vectorul de poziţie .
Prin definiţie se va numi lucrul mecanic elementar, corespunzător forţei  şi deplasării elementare  , produsul scalar
                  unde  .          (1)                                                                                          
Cum  , expresia (1) devine          (2)                                                                                                                                                                           
Rezultă că: lucrul mecanic elementar corespunzător unei forţe   şi unei deplasări elementare   a punctului de aplicaţie al forţei este egal cu produsul scalar dintre forţă şi deplasarea elementară.
În expresia (1) s-a aproximat că în intervalul de timp   forţa   rămâne   constantă, iar arcul este egal cu coarda corespunzătoare. Folosind exprimarea  analitică a vectorilor   şi   în funcţie de proiecţiile vectorilor pe axele unui sistem cartezian Oxyz (figura 1)                                              ; ,   (3)   expresia (1) devine:    (4)
                                                      


Figura  1



În funcţie de viteza  , expresia lucrului mecanic elementar este  .
2. Proprietăţi ale lucrului mecanic:
a) este o mărime scalară având ca unitate de măsură în sistemul internaţional SI joule-ul (J) şi în sistemul tehnic kilogram - forţă - metrul (kgf.m);    
b) este pozitiv când     şi poartă în acest caz numele de lucru meca¬nic motor;
c) este negativ când   şi se numeşte în acest caz lucru mecanic rezistent ;
d) este nul când  ;
e) dacă deplasarea   este  compusă din n deplasări ele¬mentare    (5) atunci            (6)
Deci: lucrul mecanic elementar corespunzător unei deplasări compuse este egal cu suma lucrurilor mecanice elementare aferente  deplasărilor componente;
 f) dacă forţa   reprezintă rezultanta unică a unui sistem de forţe    (7) , atunci lucrul mecanic este      (8).
Adică, lucrul mecanic elementar corespunzător rezultantei unui sistem de forţe este egal cu suma algebrică a lucrurilor mecanice elementare ale forţelor componente.



                 Figura 2




3. Lucrul mecanic total
Când este corespunzător unei forţe variabile   şi unei deplasări finite a punctului material între punctele A şi B pe o traiectorie curbilinie (figura 2) lucrul mecanic este dat de expresia:                                      (9) ,
iar în cazul unui cuplu  
                           (10).
Expresia (9) se obţine prin descompunerea mişcării finite în mişcării elementare pentru care forţa  se consideră constantă., iar arcul de curbă se aproximează cu coarda şi însumarea lucrurilor mecanice elementare corespunzătoare.
Din relaţia (9) se observă că lucrul mecanic corespunzător unei deplasări finite a unui punct material şi unei forţe variabile depind atât de modul cum variază forţa, cât şi de forma traiectoriei.
4. Lucrul mecanic în cazul forţelor conservative
În cazul în care forţa este conservativă expresia ei este (11),  unde U(x, y, z) este funcţia de forţă.
Funcţia de forţă este o funcţie scalară de coordonatele punctului, cu ajutorul căreia se pot determina componentele forţei astfel:
         
Pentru a exista o funcţie de forţă trebuie îndeplinite condiţiile lui Cauchy, care sunt :
                                           
Lucrul mecanic elementar este:   (12)
                                                                                                              (13)
 Lucrul mecanic total este                            (14),
unde    şi     sunt funcţiile de forţă corespunzătoare poziţiilor iniţială şi finală.
Rezultă că: lucrul mecanic total în cazul unei forţe conservative de¬pinde numai de poziţiile iniţială şi finală ale punctului, fiind in¬dependent de forma traiectoriei.
În locul funcţiei U, se poate considera funcţia V, numită şi funcţie potenţială şi definită prin relaţia:        . În acest caz, lucrul mecanic elementar are expresia   .
Funcţia de forţă U şi funcţia potenţială V nu pot fi determinate decât cu aproximaţia unei constante.
Dacă un punct material este acţionat simultan de un sistem de forţe conservative   care derivă din funcţiile de forţă  , astfel încât:
 ;                ;               ;
 ;                ;              ;
……………;             ……………;            …………….;
 ;                 ;               ;
rezultanta   va avea proiecţiile:
          ;
          ;
           ;
adică rezultanta   derivă din funcţia de forţă  . Un astfel de sistem de forţe se numeşte sistem conservativ.

Figura 3

Exemple: a) Forţa   este con¬stantă ca modul şi direcţie iar traiectoria este o curbă oarecare (figura 3). Faţă de sistemul de axe ales, se poate scrie
    ;                (15),     deci:     (16)                                             
     Rezultă         (17), unde   este unghiul dintre segmentul de dreaptă AB şi axa Ox.
Semnul plus se ia când punctul coboară, iar semnul minus când punctul urcă.

Figura 4

b) În cazul în care   este o forţă gravitaţională (figura 4) notând-o cu G, rezultă:
 ,                  (18)                                                      ,        .
În general                                                                          (19).
Rezultă că: lucrul mecanic al unei greutăţi nu depinde de forma traiecto¬riei pe care se deplasează punctul său de aplicaţie, ci depinde. numai de poziţiile extreme între care se efectuează mişcarea, fiind egal cu produsul dintre valoarea numerică a forţei şi diferenţa de cotă dintre poziţiile iniţială şi finală.
c) Lucrul mecanic al unei forţe elastice. Se consideră un resort spiral OM în stare liberă fixat în punctul 0 (figura 5). Prin întinderea arcului cu lungimea x ia naştere o forţă  = kx, proporţională cu alungirea resortului. Coeficientul de proporţionalitate notat prin k poartă numele de constantă elastică a resortului şi reprezintă forţa necesară pentru a produce o alungire a resortului egală cu unitatea. Pentru o deplasare elementară   a punctului M din M' în M", lucrul mecanic elementar corespunzător forţei elastice şi deplasării dx este :
            (20).
Pentru o deplasare finită din A în B a extremităţii M a resortului când acesta este întins, lucrul mecanic va fi  
                                (21)
                            Figura 5
5. Lucrul mecanic elementar corespunzător unui sistem de forţe ce acţionează asupra unui solid rigid
Se consideră un solid rigid liber (figura 6), supus acţiunii unui sistem de forţe active   .
Lucrul mecanic elementar corespunzător forţei   şi deplasării elementare  , a punctului de aplicaţie  , al forţei este :
        (22)
Notând cu:
 — viteza punctului O, aparţinând solidului rigid ;
 — viteza unghiulară de rotaţie relativă a solidului rigid faţă de punctul 0, relaţia (22) devine :
                    ,
unde   este vectorul de poziţie al punctului   faţă de punctul 0. Pentru întregul sistem de forţe se obţine   .
                             Figura 6                                                         
Dar
1.  — deplasarea elementară prin translaţie a rigidului                                                                                                         
 2.    — unghiul elementar de rotaţie considerat                                 ca vector;
 3.     — vectorul rezultant al sistemului de forţe active;
  4.   — vectorul moment rezultant al sistemului de forţe active relativ la polul 0;
Adică
                                (23)
Un caz important în aplicaţiile tehnice este acela al unui rigid acţionat de un cuplu  .În acest caz mişcarea rigidului este o rotaţie. Având în vedere că  , din relaţia (23) se obţine :
                     ;                (24)
Când axa de rotaţie coincide cu suportul lui   şi acesta este constant, rezultă:
                                  (25)
6. Lucrul mecanic al forţelor interioare
Se consideră două puncte materiale   şi   asupra cărora acţionează forţele interioare   şi respectiv   (figura 7). Fie   şi  vectorii de poziţie ai punctelor   şi   în raport cu punctul fix 0.
Lucrul mecanic elementar aferent forţelor   şi   şi deplasărilor elementare ale punctelor de aplicaţie ale forţelor este
          .
Deoarece      rezulta că          (26)
În expresia (26) λ este un scalar pozitiv sau negativ după cum punctele   şi   se resping sau se atrag.
Dacă punctele materiale aparţin unui sistem material rigid  , iar  , rezultă că: suma lucrurilor mecanice elementare ale forţelor interioare ce acţionează punctele unui sistem material rigid, pentru orice deplasare ele¬mentară a sistemului este nulă.


                                       


                                                                                          Figura 7    
    





7. Reprezentarea grafică a lucrului mecanic
În figura 8 este arătată reprezentarea grafică a lucrului mecanic cu ajutorul unei diagrame. În abscisă se reprezintă proiecţia deplasării pe direcţia forţei, iar în ordonată este reprezentată forţa.
Lucrul mecanic corespunzător forţei   şi deplasării finite   este egal cu valoarea ariei dată de diagrama a
 suprafaţa               (27)
iar în cazul unui moment prin valoarea suprafeţei date de diagrama b.






Figura  8