1

Miscarile planetelor si satelitilor

            Mişcările corpurilor din sistemul solar pot fi deduse din legile mişcării şi din legea atracţiei universale . După cum a arătat Kepler , toate planetele se mişcă pe orbite eliptice , Soarele fiind �ntr-unul din focare .

            Putem afla o mulţime de lucruri despre mişcarea planetelor consider�nd cazul particular al orbitelor circulare .  Vom neglija forţele dintre planete , consider�nd numai interacţia dintre Soare şi o planetă dată .  Aceste consideraţii se aplică la fel de bine mişcării unui satelit ( natural sau artificial ) �n jurul unei planete .

Două corpuri care se mişcă pe orbite circulare sub influenţa atracţiei universale reciproce .

F=Gm1m2/r2

 Ambele corpuri au aceeaşi viteză unghiulară ω .

Se consideră două corpuri sferice de mase M şi m mişc�ndu-se pe orbite circulare sub influenţa atracţiei gravitaţionale reciproce . Centrul de masă al acestui sistem de două corpuri se află pe linia care le uneşte , �ntr-un punct  C  astfel �nc�t :    mr = MR .

            Dacă nu există forţe externe care să acţioneze asupra acestui sistem , centrul de masă nu are acceleraţie . �n acest caz se alege  C ca origine a sistemului de referinţă . Corpul mare de masă  M se mişcă pe o orbită de rază constantă  R , iar corpul mic de masă m se mişcă pe o orbită de rază constantă  r , ambele corpuri av�nd aceiaşi viteză unghiulară ω .

            Pentru ca aceasta să aibă loc , forţa gravitaţională care acţionează asupra fiecărui corp trebuie să asigure acceleraţia centripetă necesară .  Deoarece aceste forţe gravitaţionale reprezintă o pereche acţiune-reacţiune , forţele centripete trebuie să fie egale �n modul şi opuse ca sens .  Adică : mω2r ( modulul forţei centripete exercitată de M asupra lui m ) trebuie să fie egal cu Mω2R ( modulul forţei centripete exercitată de m asupra lui M ) .  Faptul că este aşa rezultă imediat , deoarece  mr = MR , astfel �nc�t  mω2r = Mω2R . 

            Condiţia specifică este atunci ca forţa gravitaţională exercitată asupra fiecărui corp să fie egală cu forţa centripetă necesară pentru a-l menţine �n mişcare pe orbita sa circulară, adică :     

( GMm)/(r+R)2=mω2 r     (1)

Dacă un corp are o masă mult mai mare dec�t celălalt , ca �n cazul Soarelui şi al unei planete , depărtarea sa faţa de centrul de masă este mult mai mică dec�t depărtarea celuilalt corp .  Se presupune că R este neglijabil �n comparaţie cu r .

 Ecuaţia de mai sus devine : 

                                                                       GMs=ω2r3       (2)

 unde  Ms este masa Soarelui. 

            Dacă exprimăm viteza unghiulară prin perioada de revoluţie , ω = 2π/T , obţinem :

GMs = 4π2r3/T2       (3)

            Aceasta este o ecuaţie fundamentală pentru mişcarea planetelor ; ea este valabilă de asemenea pentru orbite eliptice dacă definim pe r ca fiind semiaxa mare a elipsei . O consecinţă imediată a ecuaţiei (3) este aceea că ea prezice legea a treia  a lui Kepler pentru mişcarea planetelor �n cazul particular al orbitelor circulare . Acum putem exprima ecuaţia (3) astfel :

T2 = 4π2r3/GMs            (4)

            Observăm că masa planetei nu figurează �n această expresie . Aici 4π2/GMs este o constantă , aceiaşi pentru toate planetele .

            Dacă perioada T şi raza r de revoluţie sunt cunoscute pentru o planetă , ecuaţia (3) poate fi folosită pentru a determina masa Soarelui . De exemplu , perioada Păm�ntului este :     

                                                 T = 365zile = 3,15·107 s

 şi raza orbitei sale este :       

                                                r= 1,5·1011 m

            Prin urmare 

                             Ms = 4π2r3/GT2 ≈  2,0·1030 kg.

            Masa Soarelui este aproximativ 300000 ori mai mare dec�t masa Păm�ntului . Se vede  că eroarea comisă prin neglijarea lui R faţă de r este neglijabilă ,  deoarece :

                                   R = mr/M = 1r/300000≈480 km  

                                   R·100%/r ≈1/3000 din 1%   .

            �ntr-un mod analog se poate determina masa Păm�ntului din perioada şi raza orbitei Lunii �n jurul Păm�ntului .

            Dacă se cunoaşte masa Soarelui Ms şi perioada de revoluţie T a unei planete �n jurul Soarelui , se poate determina raza orbitei r a planetei din ecuaţia (3) . Deoarece perioada se obţine uşor din observaţiile astronomice , această metodă de determinare a distanţei planetelor p�nă la Soare este destul de bună .

            Ecuaţia (3) este valabilă pentru mişcările sateliţilor artificiali �n jurul Păm�ntului . Se substituie masa Păm�ntului Mp �n locul lui Ms �n acea ecuaţie .         

Legea a doua a lui Kepler pentru mişcarea planetelor trebuie să fie valabilă pentru orbite circulare . Pentru astfel de orbite , at�t ω c�t şi r sunt constante , astfel �nc�t sunt măturate arii egale �n timpuri egale de către linia care uneşte o planetă cu Soarele .  Pentru orbitele eliptice exacte �nsă , sau pentru orice orbită �n general , at�t r c�t şi ω vor varia .

            O cometă care se mişcă de-a lungul unei traiectorii eliptice cu Soarele C �n focarul elipsei . �n timpul dt cometa mătură un unghi dθ= ωdt . Considerăm o particulă care se roteşte �n jurul lui C pe o traiectorie oarecare .  Aria măturată de raza vectoare �ntr-un interval de timp foarte scurt este  Δt .  Această arie este egală cu jumătate din baza �nmulţită cu �nălţimea sau aproximativ � din (rωΔt)r .  Această expresie devine mai exactă la limită c�nd Δt → 0 .  Viteza cu care aria este măturată instantaneu este ωr2/2  .

            Dar mωr2 este pur şi simplu momentul cinetic al particulei faţă de C .  Prin urmare , legea a doua a lui Kepler , care cere ca viteza de măturare a ariei ωr2/2 să fie constantă , este echivalentă cu afirmaţia că momentul cinetic al oricărei planete �n jurul Soarelui răm�ne constant .  Momentul cinetic al particulei �n jurul lui C nu poate fi modificat de o forţă �ndreptată către C . Legea a doua  a lui Kepler va fi valabilă pentru orice forţă centrală , adică pentru orice forţă �ndreptată către Soare . Natura exactă a acestei forţe nu este evidenţiată �n această lege .

            Legea �nt�i a lui Kepler este aceea care cere ca forţa gravitaţională să

depindă exact invers proporţional de pătratul distanţei dintre două corpuri , adică să depindă de 1/r2 . Se constată că numai o astfel de forţa poate duce la orbite planetare care să fie eliptice cu Soarele �ntr-unul din focare .

Legile mişcării ale lui Newton şi legea atracţiei universale sunt �ntr-o concordaţă aproape totală cu observaţiile astronomice . S-a considerat mişcarea unei planete �n jurul Soarelui ca o problemă „ a două corpuri ” . S-a observat că mişcarea Soarelui poate fi neglijată cu un mare grad de precizie , deoarece raportul dintre masa Soarelui şi masa planetei este mare . Acest lucru a redus problema la mişcarea unui singur corp �n jurul unui centru de forţă . Pentru o   tratare exactă trebuie să ţinem seama de efectul celorlalte planete şi sateliţi asupra mişcării Soarelui şi planetei .

Această problemă „ a mai multor corpuri ” este foarte dificilă , dar poate fi rezolvată prin metode de aproximaţie cu un mare grad de precizie . Rezultatele unor astfel de calcule sunt �n concordanţă cu observaţiile astronomice .