1                 Numere complexe
                                            


În matematică, numerele complexe au apărut ca soluţii ale ecuaţiilor de forma  , cu p număr real strict pozitiv, aşa cum numerele iraţionale apăruseră din necesitatea de a descrie soluţii ale ecuaţiilor de forma  , unde q nu este un pătrat perfect.
Formal, mulţimea numerelor complexe reprezintă mulţimea tuturor perechilor ordonate de numere reale,  , înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite mai jos:
 ,
 .
Mulţimea numerelor complexe formează un corp, corpul numerelor complexe, notat cu  .
Elementul neutru al operaţiei de adunare este  iar elementul neutru al operaţiei de inmulţire este  .
Deoarece  şi  , mulţimea numerelor reale,  , poate fi privită ca submulţime a lui  , identificînd numărul real  cu  .
Numărul complex  are proprietatea  , adică  identificat cu numărul real  .
Nici un număr real nu are această proprietate.
Forma algebrică
Numărul complex  este notat cu  şi  .
Ţinînd cont de cele de mai sus, un număr complex  poate fi scris  .
Forma algebrică a unui număr complex este  , unde a şi b sunt numere reale.
 unitatea imaginară  ;   ;  .
Pentru un număr complex  ,  se numeşte partea reală a lui  şi se notează  iar  se numeşte partea imaginară a lui  şi se notează  .
Egalitatea a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di are loc dacă a = c şi b = d.
Suma a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d )= (a+c) + i(b +d).
Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di este zw = (ac -bd, bc + ad )= (ac-bd) + i(bc+ad).
Exemplu : pentru z = (2,3)= 2 + 3i şi w =(1,4) = 1 + 4i avem zw = (-10, 11 )= -10 + 11i, z + w = (3, 7 )= 3 + 7i .
Forma trigonometrică
Orice număr complex a cărui formă algebrică este z = a + bi poate fi scris şi sub formă trigonometrică, adică sub forma  , unde  este modulul numărului complex z, iar  este argumentul acestui număr complex
Forma exponenţială
Numărul complex a cărui formă trigonometrică este  poate fi scris sub forma exponenţială  . Această posibilitate se datorează valabilităţii formulei lui Euler.
Conjugatul unui număr complex
Conjugatul complex al unui numar  este numărul complex  .
Proprietăţile conjugatului complex :
 
 
 
   
Modulul unui număr complexModulul numărului complex  este numărul real  .
Proprietăţile modulului:
 
 
 
 (inegalitatea triunghiului)
 
 
 
Are loc identitatea  şi deci  , dacă  
 .
Puterile lui i
    
    
Generalizare:
 cu  de forma  
 cu  de forma  
 cu  de forma  
 cu  de forma  
Reprezentarea grafică a numerelor complexe
Aşa cum unui număr real i se poate asocia un punct de pe o dreaptă, tot astfel, unui număr complex i se poate asocia un punct aflat într-un plan.