1 Ecuatii care se rezolva prin descompuneri in factori sau substitutii




Metoda de rezolvare:
 
  In general, pentru rezolvarea ecuatilor exponentiale cu baze diferite, se recomanda, descompunerea bazelor in factori primi,observand astfel o anume posibilitate de a grupa termenii ecuatiei in ideea de a scrie ecuatia ca un produs de factori egal cu 0.Alteori este profitabil de a lucra cu cat mai putine baze.In fine,in unele cazuri, se remarca o anume expresie depinzand de necunoscuta care poate fi substituita si se rescrie ecuatia data in functie de noua necunoscuta.Asa sunt ecuatiile care au forma generala:
1) A(a² +aˉ² )+B(a +aˉ )+C=0,a>0,a≠1,A,B,C Є R
In acest caz se noteaza: a +aˉ =y
Prin ridicarea la patrat rezulta a² +aˉ² =y²-2  ,atunci ecuatia se scrie:  Ay²+By+C-2A=0  cu soutiile:  , .
Din a + ≥2=>y>2(deoarece u+ ≥2 daca u>0)
2.) A(a³ +aˉ³ )+B(a +aˉ )+C=0,a>0,a≠1, A,B,C Є R
Si in aceasta situatie punem a +aˉ =y≥2 de aici prin ridicare la ³ =>a³ +aˉ³ =y³-3y.

Problme rezolvate:
 
   Sa se rezolve ecuatiile exponentiale:
a) 36∙5² +5∙6 =180+150
b) 9(9 +9ˉ )-3(3 +3ˉ )-72=0
Rezolvare:

a)    Ecuatia se scrie echivalent:
   36(25 -5)-6 (25 -5)=0 (25 -5)(36-6 )=0,  ultimul produs este 0 daca cel putin unul din factori este egal cu 0.Deci 25 -5=0 sau 6 =36
 Prima ecuatie are solutia  = , iar a doua ecuatie da solutia  =2. Deci ecuatia data are solutiile   ,

b)aducem exponentialele la aceeasi baza 3 si ecuatia se scrie echivalent:
      9(3² +3ˉ² )-3(3 +3ˉ )-72=0.  Notam 3 +3ˉ =y≥2, iar de aici prin ridicare la patrat obtinem 3² +3ˉ² =y²-2.  Cu aceasta ecuatie data devine: 9(y²-2)-3y-72=0, cu solutiile :
   = , =-3.   Tinand seama ca y≥2,numai ecuatia 3 +3ˉ = , are solutii.Se noteaza 3 =z>0=> 3z²-10z+3=0, cu solutiile  =3,  = . Ecuatiile 3 =3, 3 =3ˉ¹  dau solutiile  =1,  =-1 si ecuatia data are solutiile:  =1,  =-1    
      
Ecuatii exponentiale cu solutie unica:
 
Metoda de rezolvare:

Rezolvarea aceastei ecuatii consta in a le aduce la forma f(x)=c, unde “f” este o fuctie strict monotona, iar “c” este o constanta si observand ca ecuatia are o solutie  . Cum “f” este strict monotona se deduce ca “f” este injective si deci ecuatia data are solutia unica  .
Probleme rezolvate:
Sa se resolve ecuatiile:
a)    3 ˉ¹+5 ˉ¹=34
b)    4 +9=5
  Rezolvare

a)Sa observam ca x=3, verifica ecuatia deoarece: 3²+5²=34. Functia f(x)=3 ˉ¹+5 ˉ¹ fiind suma a doua functii exponential cu baze supraunitare este strict crescatoare.Deci x=3 este singura solutie a ecuatiei
b)In acest caz se imparte ecuatia prin 5 (≠0)si aceasta se scrie echivalent: +9 =1. Se vede ca x=2 este solutia a ecuatiei.Functia f(x)= : +9  este strict descrescatoare,fiind suma a doua astfel de functii.Deci ecuatia are sulutia unica x=2


Tema:

a)8-x∙2 +2³-x=0
b)3² -x∙3 -3 -6x²-7x-2=0